[논문 리뷰] Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up

Kristian Uldall Kristiansen, S. J. Hogan|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 22.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 평면 조각적 미분방정식(PWS) 시스템에서 비정칙성의 두중도-일 두겹이분기의 정규화를 철저히 분석하기 위해 폭발 방법을 사용한다. 주로 특이한 캐노드, 의사균형점, 그리고 한주기운동을 다룬다. 정규화가 한주기운동의 안정성 분기와 관련된 안정성 분기를 유도할 수 있으며, 허프 분기의 임계성은 정규화 함수에 따라 달라지며, 수치적으로 캐노드 폭발이 관찰된다.

ABSTRACT

We use blowup to study the regularization of codimension one two-fold singularities in planar piecewise smooth (PWS) dynamical systems. We focus on singular canards, pseudo-equlibria and limit cycles that can occur in the PWS system. Using the regularization of Sotomayor and Teixeira \cite{Sotomayor96}, we show rigorously how singular canards can persist and how the bifurcation of pseudo-equilibria is related to bifurcations of equilibria in the regularized system. We also show that PWS limit cycles are connected to Hopf bifurcations of the regularization. In addition, we show how regularization can create another type of limit cycle that does not appear to be present in the original PWS system. For both types of limit cycle, we show that the criticality of the Hopf bifurcation that gives rise to periodic orbits is strongly dependent on the precise form of the regularization. Finally, we analyse the limit cycles as locally unique families of periodic orbits of the regularization and connect them, when possible, to limit cycles of the PWS system. We illustrate our analysis with numerical simulations and show how the regularized system can undergo a canard explosion phenomenon.

연구 동기 및 목표

• 평면 조각적 미분방정식(PWS) 동역학계에서 두중도-일 두겹이분기의 정규화가 미치는 영향을 엄밀히 이해하는 것.
• Sotomayor–Teixeira 정규화 하에서 특이한 캐노드, 의사균형점, 한주기운동이 어떻게 유지되는지 조사하는 것.
• PWS 이분기와 정규화된 시스템에서의 표준 스무스 이분기 간의 관계를 규명하는 것.
• 정규화가 원래 PWS 시스템에 존재하지 않는 새로운 동역학적 특성들을 생성할 수 있는지 탐색하는 것.
• 정규화 함수가 허프 이분기의 임계성과 주기 궤도의 안정성 분기 발생에 미치는 영향을 분석하는 것.

제안 방법

• PWS 이분기에서 초과성 상실을 해결하기 위해 Krupa와 Szmolyan의 폭발 방법을 적용한다.
• 스위칭 표면을 너비 $2\epsilon$의 경계층으로 대체하는 Sotomayor–Teixeira 정규화를 사용한다.
• 다양한 좌표 차트(예: $\kappa_2$)에서 국소 분석을 수행하여 두겹 특이점 근처의 역학을 풀어낸다.
• 기하학적 특이 섭동 이론을 통해 특이한 캐노드, 의사균형점, 한주기운동을 정규화된 시스템으로 계속한다.
• AUTO를 사용한 수치적 연속 기법을 활용해 주기 궤도를 추적하고, 허프 및 안정성 분기점을 탐지한다.
• 다양한 정규화 함수에 대해 정규화된 시스템의 리아프노프 계수를 비교하여 허프 이분기의 임계성 평가.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PWS 시스템에서의 특이한 캐노드는 정규화 하에서 어떻게 유지되며, 어떤 조건에서 그러한 유지가 이루어지는가?
• RQ2 PWS 시스템에서의 의사균형점 이분기와 정규화된 시스템에서의 균형점 이분기 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 정규화가 원래 PWS 시스템에 존재하지 않는 새로운 한주기운동을 유도할 수 있는가?
• RQ4 정규화 함수의 선택이 정규화된 시스템에서 허프 이분기의 임계성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 폭발 방법이 두겹 이분기에서 초과성 상실을 해결하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 특이한 캐노드는 정규화된 시스템에서도 유지되며, 캐노드 값은 $\mu_{2,c}^{s} \approx -0.12188\sqrt{\epsilon} + \mathcal{O}(\epsilon)$로 이동한다.
• PWS 시스템에서의 의사균형점 이분기는 정규화된 시스템에서의 표준 균형점 이분기에 해당한다.
• PWS 한주기운동은 정규화된 시스템에서의 허프 이분기와 연결되며, 주기 궤도는 $\mu_2 \approx -1.22369 \times 10^{-2}$ 근처에서 캐노드 폭발을 겪는다.
• 정규화는 원래 PWS 시스템에 존재하지 않는 한주기운동의 안정성 분기를 유도할 수 있다.
• 허프 이분기의 임계성은 정규화 함수에 따라 달라지며, 서로 다른 선택에 따라 반대 부호의 리아프노프 계수 $a_2^l = -5/8$ 와 $a_2^c = 7/32$ 가 가능하다.
• PWS 시스템의 특이한 주기 궤도 $VI_3$ 는 정규화된 시스템의 주기 궤도의 극한이며, 안정성은 $\Delta_{VI_3}$ 에 의해 결정된다.