[논문 리뷰] Relative p-adic Hodge theory, II: Imperfect period rings

Kiran S. Kedlaya, Ruochuan Liu|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 88인용 수 53

한 줄 요약

이 논문은 상대 p진 호지 이론을 확장하여, 아디크 공간 위에서의 허구적 구조를 가진 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 도입함으로써 고전적 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 일반화하고, 그들이 잘 양호한 호모로지적 성질을 가진 아벨 카테고리임을 증명한다. 이 논문은 적절한 무한 에테일 커버가 존재하는 조건 하에서 주기층의 분해완비화를 통해 p진 갈루아 표현의 초수렴성을 증명하며, 기하학적 설정에서 Andreatta-Brinon의 상대 $(\varphi,\Gamma)$-모듈과의 동치성을 보인다.

ABSTRACT

In a previous paper, we constructed a category of (phi, Gamma)-modules associated to any adic space over Q_p with the property that the etale (phi, Gamma)-modules correspond to etale Q_p-local systems; these involve sheaves of period rings for Scholze's pro-etale topology. In this paper, we first extend Kiehl's theory of coherent sheaves on rigid analytic spaces to a theory of pseudocoherent sheaves on adic spaces, then construct a corresponding theory of pseudocoherent (phi, Gamma)-modules. We then relate these objects to a more explicit construction in case the space comes equipped with a suitable infinite etale cover; in this case, one can decomplete the period sheaves and establish an analogue of the theorem of Cherbonnier-Colmez on the overconvergence of p-adic Galois representations. As an application, we show that relative (phi, Gamma)-modules in our sense coincide with the relative (phi, Gamma)-modules constructed by Andreatta and Brinon in the geometric setting where the latter can be constructed. As another application, we establish that the category of pseudocoherent (phi, Gamma)-modules on an arbitrary rigid analytic space over a p-adic field is abelian, satisfies the ascending chain condition, and is stable under various natural derived functors (including Hom, tensor product, and pullback). Applications to the etale cohomology of pro-etale local systems will be given in a subsequent paper.

연구 동기 및 목표

• 고전적 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 더 넓은 범위의 허구적 모듈로 일반화하여 호모로지적 성질을 향상시키는 것.
• 비아르키메데스 해석적 공간을 위한 상대 p진 호지 이론의 맥락에서 허구적 $(\varphi,\Gamma)$-모듈 이론을 개발하는 것.
• 무한 에테일 커버를 따라 주기층을 분해완비화함으로써 p진 갈루아 표현의 초수렴성을 확립하는 것.
• 혼합 특성의 수체 위의 강체 해석적 공간에서 허구적 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 카테고리가 아벨이 되고 유도 함수들에 대해 안정적임을 보이는 것.
• 기하학적 설정에서 저자들이 제시한 상대 $(\varphi,\Gamma)$-모듈과 Andreatta-Brinon의 모듈 간의 동치성을 증명하는 것.

제안 방법

• 유도 범주와 평탄성 기준을 사용하여, Kiehl의 일관성층 이론을 허구적 층으로 아디크 공간 위에 확장하는 것.
• Scholze의 프로-에테일 위상에 대해 주기층을 구성하고, 무한 에테일 커버를 따라 내림내림을 통해 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 정의하는 것.
• 주기환의 분해완비화 기법을 사용하여 초수렴성을 복구하고, Cherbonnier-Colmez의 정리를 상대 설정으로 일반화하는 것.
• André의 보조정리와 Fontaine의 완전체 링 이론을 활용하여 주기층과 그 모듈의 구조를 분석하는 것.
• 허구적 평탄성과 Beauville-Laszlo의 붙임 기법을 적용하여 아디크 공간 위의 전역 구조를 다루는 것.
• 프로페르스 분할과 기울기 이론을 활용하여 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 구조와 그 코homology를 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 카테고리가 더 나은 호모로지적 행동을 보이는 허구적 대상으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 주기층의 분해완비화가 어떤 조건에서 초수렴성 p진 갈루아 표현을 유도하는가?
• RQ3 어떤 기하학적 설정에서 저자들의 상대 $(\varphi,\Gamma)$-모듈이 Andreatta와 Brinon의 모듈과 일치하는가?
• RQ4 강체 해석적 공간 위에서 허구적 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 카테고리의 구조적 성질(예: 아벨, 노에터)은 무엇인가?
• RQ5 유도 함수들(Hom, ⊗, 당김)이 허구적 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 카테고리에서 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 혼합 특성의 비아르키메데스 체 위의 강체 해석적 공간에서 허구적 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 카테고리는 아벨이며 오름 사슬 조건을 만족한다.
• 이 카테고리는 유도 함수들 $\operatorname{Hom}$, $\otimes$, 그리고 당김에 대해 안정적이며, 강력한 범주적 제어를 보장한다.
• 무한 에테일 커버를 따라 주기층을 분해완비화함으로써 p진 갈루아 표현의 초수렴성이 확립되며, 이는 Cherbonnier-Colmez의 정리를 상대 설정으로 일반화한 것이다.
• 저자들이 제시한 상대 $(\varphi,\Gamma)$-모듈은 둘 다 정의된 기하학적 설정에서 Andreatta와 Brinon의 모듈과 일치한다.
• 유형 $\mathbf{C}$의 허구적 $(\varphi,\Gamma)$-모듈은 $B$-페어와 동치이며 잘 정의된 기울기 분할을 가짐을 보였다.
• 완전체 타워 이론과 프로페르스 분할을 통해 갈루아 작용과 프로페르스 작용이 제어된 주기층의 구성이 가능해졌다.