[논문 리뷰] Relative Property (T) Actions and Trivial Outer Automorphism Groups

Damien Gaboriau|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 02.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 모든 비압연 자유곱 그룹이 상대적 성질 (T)를 가진 자유 에르고딕 확률측도보존 행동을 갖는다는 것을 증명하며, 자명한 외부자기동형군을 가진 2개의 생성자를 가진 자유군에 대해 이러한 행동의 첫 번째 예를 제공한다. 비가чёт 가능한 거의 서로소 가중치 집합과 강성 기법을 사용하여 연속체 수의 비오르비트-equivalent 행동이 존재함을 증명하고, 관련 동치관계의 외부자기동형군이 자명하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We show that every non-amenable free product of groups admits free ergodic probability measure preserving actions which have relative property (T) in the sense of S.-Popa \cite[Def. 4.1]{Pop06}. There are uncountably many such actions up to orbit equivalence and von Neumann equivalence, and they may be chosen to be conjugate to any prescribed action when restricted to the free factors. We exhibit also, for every non-amenable free product of groups, free ergodic probability measure preserving actions whose associated equivalence relation has trivial outer automorphisms group. This gives in particular the first examples of such actions for the free group on $2$ generators.

연구 동기 및 목표

• 자유 에르고딕 확률측도보존 상대적 성질 (T) 행동을 갖는 가산离산 그룹을 특성화하는 것.
• 자유곱에서 상대적 성질 (T) 행동을 위한 건물 조건에 대한 산술적 가정을 제거하는 것.
• 관련 동치관계의 자명한 외부자기동형군을 갖는 비압연 자유곱의 행동을 구성하는 것.
• F∞에서 유한 랭크 자유군과 일반적인 비원소 자유곱으로 결과를 확장하는 것.
• 비압연 자유곱에 대해 연속체 수의 비오르비트-equivalent 행동이 존재함을 보여주는 것.

제안 방법

• 군 측도 공간 구성법을 사용하여 표준 확률공간 위에 자유 p.m.p. 행동을 구성한다.
• Popa의 von Neumann 대수 포함 구조에 대한 상대적 성질 (T) 개념을 적용한다. 특히 $ L^∞(X,\mu) \subset L^∞(X,\mu) \rtimes_\sigma \Gamma $.
• 자연수 집합 $ \mathbb{N} \setminus \{0\} $ 의 무한부분집합들로 이루어진 비가산 거의서로소 가중치 집합 $ \mathcal{E}_1 $ 을 사용하여 서로 다른 행동을 생성한다.
• 일부 부분동형사상 $ \varphi_n $ 의 에르고딕성과 독립성을 활용하여, 특정 자동형사상이 국소적으로 내부적임을 보이고, 따라서 전반적으로 내부적임을 증명한다.
• IPP08 및 MS06의 강성 결과를 적용하여 von Neumann 동치성은 오르비트 동치성임을 유도한다.
• 일부 조건 하에서 강성 카르탕 부분대수는 본질적으로 유일하므로, 외부자기동형군을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 가산 이산 그룹들이 상대적 성질 (T)를 가진 자유 에르고딕 p.m.p. 행동을 갖는가?
• RQ2 산술적 가정 없이 비압연 자유곱에 대해 상대적 성질 (T) 행동을 구성할 수 있는가?
• RQ3 유한 개의 생성자를 가진 자유군은 관련 동치관계의 자명한 외부자기동형군을 갖는 행동을 가질 수 있는가?
• RQ4 비압연 자유곱에 대해 연속체 수의 비오르비트-equivalent 행동이 존재하는가?
• RQ5 그룹이 고랭크 격자일 필요 없이도 동치관계의 외부자기동형군이 자명해질 수 있는가?

주요 결과

• 모든 비압연 자유곱 그룹은 이전의 산술적 행동이 요구되었던 결과를 일반화하여 상대적 성질 (T)를 가진 자유 에르고딕 p.m.p. 행동을 갖는다.
• 오르비트 동치성 및 von Neumann 동치성에 대해 연속체 수의 이러한 행동이 존재한다.
• 행동는 자유 인자에 제한되었을 때 임의로 사전에 지정된 행동과 동형이 되도록 선택할 수 있다.
• 모든 비압연 자유곱 $ \Gamma_1 * \Gamma_2 $ 에 대해 $ (|\Gamma_1|-1)(|\Gamma_2|-1) \geq 2 $ 를 만족할 경우, 자명한 외부자기동형군을 갖는 행동이 존재한다.
• 2개의 생성자를 가진 자유군에 대해 이러한 행동의 첫 번째 예가 제시된다.
• 이러한 행동에 대해 동치관계의 외부자기동형군은 자명하며, 이는 비오르비트-equivalent 행동의 연속체 수에 대해 성립한다.