[논문 리뷰] Relaxation Equations: Fractional Models

Ester C. F. A. Rosa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 06.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만-리우빌 분수계 도함수를 사용하여 순수한 분수계 운동 방정식을 제안하며, 이 방정식의 해를 라플라스 변환을 통해 멱급수 형태의 미타그레플레르 함수로 표현한다. 주요 기여는 γ = 1일 때 고전적 디일렉트릭 리콜리이션 모델인 디바이, 콜-콜, 콜-데이비슨, 하브릴리아크-네가미 모델이 특수한 경우로 나타나며, 이는 비정상적 리콜리이션 거동에 대해 더 유연한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The relaxation functions introduced empirically by Debye, Cole-Cole, Cole-Davidson and Havriliak-Negami are, each of them, solutions to their respective kinetic equations. In this work, we propose a generalization of such equations by introducing a fractional differential operator written in terms of the Riemann-Liouville fractional derivative of order $γ$, $0 < γ\leq 1$. In order to solve the generalized equations, the Laplace transform methodology is introduced and the corresponding solutions are then presented, in terms of Mittag-Leffler functions. In the case in which the derivative's order is $γ=1$, the traditional relaxation functions are recovered. Finally, we presente some 2D graphs of these function.

연구 동기 및 목표

• 운동 방정식에 순수한 분수계 도함수의 차수 γ (0 < γ ≤ 1)를 도입하여 고전적 디일렉트릭 리콜리이션 모델을 일반화한다.
• 라플라스 변환 방법을 사용하여 이러한 분수계 운동 방정식의 해를 해석적으로 유도한다.
• 해를 미타그레플레르 함수의 형태로 표현함으로써 고전적 리콜리이션 함수를 일반화한다.
• γ = 1일 때 고전적 리콜리이션 모델(디바이, 콜-콜, 콜-데이비슨, 하브릴리아크-네가미)이 특수한 경우로 복원됨을 보여준다.
• γ, α, β, σ 등의 다양한 매개변수 조합에 따른 분수계 리콜리이션 함수의 그래픽 표현을 제공한다.

제안 방법

• 리콜리이션 과정을 모델링하기 위해 리만-리우빌 분수계 도함수의 차수 γ를 사용하여 분수계 운동 방정식을 수립한다.
• 고전적 리콜리이션 모델(디바이, 콜-콜, 콜-데이비슨, 하브릴리아크-네가미)에 대응하는 적분 커널을 기반으로 기억 함수를 구성한다.
• 분수계 운동 방정식에 라플라스 변환을 적용하여 변환된 리콜리이션 함수의 대수적 표현을 도출한다.
• 특히 $\mathscr{L}[t^{\gamma-1}E_{\alpha,\gamma}^{\beta}(at^{\alpha})](s) = \frac{s^{\alpha\beta - \gamma}}{(s^{\alpha} - a)^{\beta}}$ 와 같은 알려진 미타그레플레르 함수의 라플라스 변환 항등식을 활용하여 해를 역변환한다.
• γ = 1 및 특정 매개변수 값(예: β = 1, α = 1)을 설정하여 고전적 모델을 복원한다.
• γ, α, β, σ 등의 매개변수에 따른 분수계 리콜리이션 함수의 2차원 플롯을 생성하여 동적 거동을 시각화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리우빌 도함수의 차수 γ ∈ (0,1]을 갖는 분수계 미분 방정식이 고전적 디일렉트릭 리콜리이션 모델을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 γ = 1일 때 이러한 분수계 방정식의 해가 고전적 리콜리이션 함수(디바이, 콜-콜, 콜-데이비슨, 하브릴리아크-네가미)로 축소되는가?
• RQ3 γ < 1일 때, 미타그레플레르 함수 기반의 해는 어떻게 행동하며, 그 단조성과 물리적 해석 가능성은 어떠한가?
• RQ4 α, β, γ, σ 등의 매개변수가 분수계 프레임워크 내에서 리콜리이션 역학을 어떻게 결정하는가?
• RQ5 복소수 디일렉트릭 허용도가 라플라스 변환 관계 $\tilde{\varepsilon}(s) = 1 - s^{\gamma}\tilde{\varphi}(s)$ 를 통해 분수계 리콜리이션 함수에서 일관되게 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 리만-리우빌 도함수의 차수 γ를 갖는 분수계 운동 방정식은 고전적 리콜리이션 모델을 일반화하며, 그 해는 모두 미타그레플레르 함수의 형태로 표현된다.
• γ = 1일 때, 분수계 디바이 모델은 고전적 디바이 리콜리이션 함수 $\varphi(t) = e^{-t/\sigma}$ 로 복원된다.
• 분수계 콜-콜 모델은 α = 0.5일 때 $\varphi(t)_{CCF} = \frac{t^{\gamma-1}}{\Gamma(\gamma)} - \sigma^{-\alpha}t^{\alpha + \gamma - 1}E_{\alpha,\alpha + \gamma}^{\alpha}\left(-\frac{t}{\sigma}\right)$ 로 표현되며, 늦어지는 지수 감쇠 특성을 보인다.
• 분수계 콜-데이비슨 모델은 $\varphi(t)_{CDF} = \frac{t^{\gamma-1}}{\Gamma(\gamma)} - \sigma^{-\beta}t^{\beta + \gamma - 1}E_{1,\beta + \gamma}^{\beta}\left(-\frac{t}{\sigma}\right)$ 로 주어지며, γ = 1일 때 고전적 C-D 함수로 복원된다.
• 분수계 하브릴리아크-네가미 모델은 $\varphi(t)_{HNF} = \frac{t^{\gamma-1}}{\Gamma(\gamma)} - \sigma^{-\alpha\beta}t^{\alpha\beta + \gamma - 1}E_{\alpha,\alpha\beta + \gamma}^{\beta}\left[-\left(\frac{t}{\sigma}\right)^\alpha\right]$ 로 표현되며, γ = 1일 때 고전적 H-N 모델로 축소된다.
• 시각적 분석을 통해 분수계 리콜리이션 함수가 t > 0에서 완전히 단조 감소함을 확인하였으며, γ, α, β에 따라 영향을 받는 비지수적, 거듭제곱 법칙에 가까운 감쇠 특성을 보인다.