[논문 리뷰] Remark on a result of Bourgain on poissonian pair correlation

Gerhard Larcher|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 23.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양의 상부 밀도를 가진 정수열 $(a_n)$의 광범위한 클래스—예를 들어 엄격하게 증가하는 수열과 같은 것들—에 대해, 임의의 무리수 $α$에 대해 수열 ${ a_nα }$는 파oissonian 쌍 상관을 가지지 못함을 증명한다. 이 결과는 추가 에너지 $E(A_N) = \Omega(N^3)$일 때 항상 파oissonian 상관이 실패한다는 더 강력한 추측을 지지하며, 이는 이전의 부르고인 결과(일부 $α$에 대해 실패함을 보였음)를 거의 모든 $α$가 아닌 모든 $α$로 확장한다.

ABSTRACT

We show for a class of sequences $(a_n)_{n\geq 1}$ of distinct positive integers, that for no $α$ the sequence $(\left\{a_n α ight\})_{n \geq 1}$ does have Poissonian pair correlation. This class contains for example all strictly increasing integer sequences with positive upper density. This result motivates us to state a certain conjecture on Poissonian pair correlation which would be a significantly stronger version of a result of Jean Bourgain.

연구 동기 및 목표

• 기존에 거의 모든 $α$에 대해 알려진 바와 같이 수열 $\u007b a_n\alpha \u007d$의 파oissonian 쌍 상관 부재가, 추가 에너지 $E(A_N) = \Omega(N^3)$일 때 모든 $α$에 대해 성립하는지 조사한다.
• 부르고인의 결과—양의 측도를 가진 $α$ 집합에 대해 비파oissonian 상관을 보였음—을 $a_n$에 더 강한 구조 조건이 있을 때 전체 $α$ 집합으로 확장한다.
• 추가 에너지 $E(A_N) = \Omega(N^3)$이면 어떤 $α$도 파oissonian 쌍 상관을 유도하지 못함을 시사하는 추측에 대한 증거를 제공한다.
• Balog–Szemerédi–Gowers 정리와 프라이먼 정리를 통해 강한 선형 하위구조를 가진 수열을 분석하여 쌍 상관 함수에 대한 정량적 하한을 도출한다.
• 이러한 수열에서 쌍 상관 함수 $R_N(s)$가 $2s$로 수렴할 수 없음을 보여, 파oissonian 조건을 위반한다.

제안 방법

• 추가 에너지 $E(A_N) = \Omega(N^3) \iff \sum_v A_N^2(v) = \Omega(N^3)$의 등가성을 사용한다. 여기서 $A_N(v)$는 차이 $a_i - a_j = v$의 수를 세는 함수이다.
• Balog–Szemerédi–Gowers 정리를 적용하여, $|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$를 만족하는 큰 부분집합 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$를 추출한다.
• 프라이먼 정리를 적용하여, 이러한 집합이 크기가 $O(N_i)$인 $d$차원 등차수열에 포함됨을 보여, 선형 구조를 유도한다.
• 일반 상수 $c, K$에만 의존하는 $s$-값들의 유한 집합 $\mathcal{E}$를 구성하여 임계 척도에서 쌍 상관을 테스트한다.
• 쌍 상관 함수 $R_N(s) = \frac{1}{N}\#\{i \neq j : \|x_i - x_j\| \leq s/N\}$를 분석하고, $2s$로의 수렴을 위반하는 하한을 도출한다.
• 이중 분할에서의 간격 수세기와 불일치 추론을 사용하여, 어떤 $s_1, s_2$에 대해 $R_N(s_2) - R_N(s_1) \geq 4(s_2 - s_1)$임을 보여, 파oissonian 행동과 모순됨을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 에너지 $E(A_N) = \Omega(N^3)$이면, 모든 $α$에 대해 ${ a_n\alpha \u007d$가 파oissonian 쌍 상관을 가지지 못하는가? (이전 결과는 거의 모든 $α$에 대해 성립함.)
• RQ2 양의 상부 밀도를 가진 수열의 집합이 모든 $α$에 대해 파oissonian 쌍 상관을 가지지 못함을 증명할 수 있는가?
• RQ3 어떤 구조적 성질(예: 추가 에너지, 이중 상수)이 파oissonian 쌍 상관을 방지하는 데 충분한가?
• RQ4 쌍 상관 함수 $R_N(s)$에 대한 정량적 하한을 유도하여, 파oissonian 극한 $2s$와의 모순을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ5 구조적 매개변수에만 의존하는 유한한 $s$-값 집합 $\mathcal{E}$가 존재하여, $R_N(s)$가 $2s$로 수렴할 수 없도록 할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 서로 다른 양의 정수로 이루어진 수열 $\{a_n\}$이 양의 상부 밀도를 가질 경우, 모든 무리수 $α$에 대해 ${ a_n\alpha \u007d$는 파oissonian 쌍 상관을 가지지 못한다.
• 결과는 거의 모든 $α$가 아닌 모든 $α$에 대해 성립하므로, 이는 이전에 부르고인이 양의 측도를 가진 예외적 $α$ 집합에 대해 보였던 결과를 강화한다.
• 이 증명은 $|A_0^{(i)}| \geq cN_i$ 및 $|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$를 만족하는 큰 부분집합 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$의 존재에 기반하며, 이는 프라이먼 정리를 통해 선형 구조를 유도한다.
• 일반 상수에만 의존하는 유한 집합 $\mathcal{E}$의 $s$-값을 구성하여, 어떤 $s_1, s_2 \in \mathcal{E}$에 대해 $R_N(s_2) - R_N(s_1) \geq 4(s_2 - s_1)$임을 보였다. 이는 파oissonian 극한 $2(s_2 - s_1)$와 모순된다.
• 특정 $s$ 값, 예를 들어 $s = \frac{2^6}{c}$, $s = 1$, 또는 $s \in \mathcal{D}$, $\mathcal{E}$에 대해, 지속적인 불일치로 인해 $R_N(s)$는 $2s$로 수렴할 수 없다.
• 어느 $s$에 대해 $R_N(s) \geq \frac{c^5}{2^{24}K^2}b > 4$라는 하한이 도출되었으며, 이는 기대되는 $2s$ 극한과 모순되어 수렴하지 않음을 증명한다.