[논문 리뷰] Remarks about the existence of conformable derivatives and some consequences

Hristo Kiskinov, Milena Petkova외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임의의 점 t ≠ a 에서 α ∈ (0,1) 차수의 동형 도함수는 함수가 t의 오른쪽 근방에서 α-미분 가능할 경우 그 점에서 표준 일阶 도함수와 동치임을 보여준다. 주요 기여는 동형 도함수가 분수적 미분방정식 이론을 고전적 일阶 상미분방정식의 범위를 넘어서 확장하지 못하며, 하한 종단점 a를 제외하고는 일반 도함수로 축소된다는 것이다.

ABSTRACT

The aim of the present paper is to make some notes to the newly introduced conformable derivative as a type local fractional derivative and to present a surprising result about the relation between the conformable derivatives and the usual integer order derivatives.

연구 동기 및 목표

• 동형 도함수와 고전적 일阶 도함수 간의 수학적 관계를 명확히 하기.
• 동형 도함수가 표준 미적분학을 초월해 새로운 분석 도구를 제공하는지 조사하기.
• 이 동치성의 영향을 동형 도함수를 포함하는 초기값 문제 해결에 대해 검토하기.
• 동형 도함수가 실제 세계 현상 모델링 또는 안정성 분석에서 이점이 있는지 판단하기.
• 동형 도함수 프레임워크가 새로운 수학적 구조를 도입하는지 아니면 기존 이론을 재구성하는지 평가하기.

제안 방법

• 증분 θ의 변환을 포함하는 극한을 이용해 t > a 에서 차수 α ∈ (0,1) 인 동형 도함수를 정의한다.
• f 가 t 에서 미분 가능할 경우, T^α_a f(t) = (t−a)^{1−α} f'(t) 를 증명한다.
• f 가 t ≠ a 에서 α-미분 가능할 조건은 f 가 고전적 의미에서 t 에서 미분 가능할 조건과 동치임을 증명한다.
• 이 동치성을 활용해 동형 도함수를 포함하는 초기값 문제를 약한 특이성을 가진 고전적 일阶 상미분방정식으로 변환한다.
• 해결된 상미분방정식이 잘 알려진 고전적 분석에서의 볼테라 적분방정식과 동치임을 보여준다.
• 하한 종단점 a 에서의 동형 도함수 행동을 분석한다. 여기서 정의의 극한은 내부 점들과 다를 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 t ≠ a 인 점에서 차수 α ∈ (0,1) 인 동형 도함수가 고전적 일阶 도함수와 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 하한 종단점 a 에서 동형 도함수와 고전 도함수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 동형 도함수를 포함하는 초기값 문제는 고전적 초기값 문제로 환원될 수 있는가?
• RQ4 동형 도함수 프레임워크는 고전적 미적분학에 비해 미분방정식을 해결하는 데 새로운 수학적 이점을 제공하는가?
• RQ5 동형 도함수가 표준 도함수로는 확보할 수 없는 고유한 통찰을 제공하는 물리적 또는 수학적 모델은 있는가?

주요 결과

• 모든 t ≠ a 에 대해 동형 도함수 T^α_a f(t) 가 존재하는 것은 고전적 일阶 도함수 f'(t) 가 존재하는 것과 동치이다.
• t > a 에서 모든 t 에 대해 T^α_a f(t) = (t−a)^{1−α} f'(t) 를 만족하며, 이는 고전 도함수와의 직접적인 분석적 연결을 확립한다.
• 초기 조건 x(a) = x_a 를 가진 초기값 문제 T^α_a x(t) = F(t, x(t)) 는 동일한 초기 조건을 가진 고전적 상미분방정식 x'(t) = (t−a)^{α−1} F(t, x(t)) 와 동치이다.
• 이 동치성은 동형 미분방정식의 해가 이미 적분 가능 특이성을 가진 고전적 상미분방정식 이론에 의해 충분히 다루어진다는 것을 의미한다.
• 동형 도함수는 분수적 미분방정식 이론의 범위를 확장하지 못하며, 고전적 일阶 상미분방정식 이외의 새로운 분석 도구를 제공하지 않는다.
• 동형 도함수가 고전 도함수와 다를 수 있는 유일한 점은 하한 종단점 a 에서 정의가 오른쪽 극한의 도함수를 포함한다는 것이다.