[논문 리뷰] Remarks on 1-D Euler Equations with Time-Decayed Damping

Xinghong Pan|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 27.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 감쇠하는 항 $\mu/(1+t)$ 를 갖는 1차원 등엔트로픽 유동 방정식을 조사하며, $\mu > 2$ 일 때 시간 가중 에너지 추정을 통해 전역적인 매끄러운 해가 존재함을 증명한다. 반면 $0 \leq \mu \leq 2$ 일 때는 적절한 초기 조건 하에서 해는 유한 시간 내에 폭발함을 보인다. 임계 임계값 $\mu = 2$ 는 전역 존재성과 유한 시간 폭발을 구분한다.

ABSTRACT

We study the 1-d isentropic Euler equations with time-decayed damping \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\partial_t ρ+\partial_x(ρu)=0, \\ &\partial_t(ρu)+ \partial_x(ρu^2)+\partial_xp(ρ)=-\fracμ{1+t}ρu,\\ &ρ|_{t=0}=1+\varepsilonρ_0(x),u|_{t=0}=\varepsilon u_0(x). \end{aligned} ight. onumber \end{equation} This work is inspired by a recent work of F. Hou, I. Witt and H.C. Yin \cite{Hou01}. In \cite{Hou01}, they proved a global existence and blow-up result of 3-d irrotational Euler flow with time-dependent damping. In the 1-d case, we will prove a different result when the damping decays of order $-1$ with respect to the time $t$. More precisely, when $μ>2$, we prove the global existence of the 1-d Euler system. While when $0\leqμ\leq2 $, we will prove the blow up of $C^1$ solutions.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 감쇠하는 항 $\mu/(1+t)$ 를 갖는 1차원 압축성 Euler 방정식에서 전역 존재성과 유한 시간 폭발을 분리하는 임계 감쇠 강도 $\mu$ 를 규명하는 것.
• 최근 3차원에서의 시간 감쇠 감쇠 결과를 1차원으로 확장하여, 임계 임계값이 다를 수 있음을 밝히는 것.
• 작은 초기 자료 조건 하에서 시간 감쇠 감쇠가 있는 해의 장기적 행동을 분석하는 것.
• 정밀한 에너지 방법과 시험 함수 분석을 통해 폭발 조건을 정밀하게 설정하는 것.

제안 방법

• 시간 가중 에너지 추정 프레임워크를 사용하여, Wang과 Yang(2009)의 방법을 응용하여 시간 감쇠 감쇠 하에서 소볼레프 노름의 성장을 통제한다.
• 시간에 따라 변화하는 감쇠 특성을 반영하기 위해 $L^2$-노름의 $\rho - 1$ 과 $u$ 를 $(1+t)^2$ 로 가중한 수정된 에너지 함수 $F(t)$ 를 도입한다.
• Sideris(1985)의 시험 함수 방법을 1차원 감쇠 유동 방정식에 적응하여 $F(t)$ 를 위한 미분 부등식을 유도한다.
• 부분 적분과 그로워발 유형의 추정을 적용하여 $F(t)$ 가 어떤 다항식보다도 더 빠르게 증가함을 보이며, $\mu \leq 2$ 일 때는 해가 유한 시간 내에 폭발함을 의미한다.
• 타일러 전개와 얀의 부등식을 사용하여 에너지 추정에서 비선형 압력 항 $p(\rho) = \frac{1}{\gamma}\rho^\gamma$ 를 통제한다.
• 큰 $t$ 에 대해 $F''(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^{-2} \ln(t+1) F(t)$ 라는 미분 부등식을 유도하며, 적분과 지수 하한 추정을 통해 유한 시간 폭발을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 감쇠 감쇠 항 $\mu/(1+t)$ 를 갖는 1차원 Euler 방정식에서 전역 존재성과 유한 시간 폭발을 분리하는 임계값 $\mu$ 는 무엇인가?
• RQ2 시간에 따라 -1의 비율로 감쇠하는 감쇠 강도가 일정한 감쇠와 비교할 때 해의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 3차원 Euler 방정식에서 시간 감쇠 감쇠가 있는 폭발 메커니즘을 1차원으로 확장할 수 있는가? 유사한 초기 조건 하에서 가능할까?
• RQ4 초기 자료의 공간적 지지 집합과 $q^0(r)$, $q^1(r)$ 의 부호가 해 수명에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 압력 법칙 $p(\rho) = \frac{1}{\gamma}\rho^\gamma$ 에서 $\gamma$ 의 선택이 폭발 또는 전역 존재 결과에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $\mu > 2$ 일 때, $m \geq 3$ 에 대해 $H^m(\mathbb{R})$ 에서 고전적 해가 존재함을 증명하며, 시간 가중 에너지 노름이 $C\varepsilon^2(\|\rho_0\|_m^2 + \|u_0\|_m^2)$ 로 유계임을 보인다.
• $0 \leq \mu \leq 2$ 일 때, $q^0(r) > 0$ 이고 $q^1(r) \geq 0$ 이며 $R_0 < r < R$ 일 때, $C^1$ 해의 수명 $T_\varepsilon$ 는 유한하다.
• 폭발은 미분 부등식 $F''(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^{-2} \ln(t+1) F(t)$ 를 통해 보이며, 큰 $t$ 에 대해 $F(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^8$ 이 되어 유한 시간 폭발을 의미한다.
• 수명의 상한은 $T_\varepsilon \leq C e^{C / (\varepsilon^2 B_0^2)}$ 를 만족하며, 여기서 $B_0 = \int_R^\infty (x-R)^2 \rho_0(x) dx > 0$ 이므로, 작은 $\varepsilon$ 에 대해 매우 빠른 폭발이 일어남을 나타낸다.
• $\mu = 2$ 는 전역 존재성과 폭발을 분리하는 임계값이며, 이는 3차원의 경우와는 다르게, $\mu > 2$ 에서는 전역 존재성, $\mu \leq 2$ 에서는 유한 시간 폭발임을 의미한다.
• 압력 법칙에서 일반적인 $\gamma > 1$ 에 대해 메서드가 강건함을 보이며, 비선형 항을 통제하기 위해 $\varphi_\gamma(\rho)$ 의 사용을 통해 이를 입증한다.