[논문 리뷰] Remarks on Blow-up of Smooth Solutions to the Compressible Fluid with Constant and Degenerate Viscosities

Quansen Jiu, Yuexun Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 12.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차원에서 일정하고 열화된 점성도를 갖는 압축성 나비에-스토크스 및 올레르 방정식에 대한 부드러운 해의 폭발을 증명한다. 초기 조건이 약한 조건을 만족할 경우에만 성립하며, 유한 시간 내에 폭발이 발생함을 에너지 유형의 방법과 정교한 미분 부등식을 통해 입증한다. 이는 초기 데이터가 컴actsupport가 아니거나 진공 상태가 아니라는 전제 없이도 성립하며, 전체 및 등온 모델에 대해 정확한 폭발 시간 추정을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we will show the blow-up of smooth solutions to the Cauchy problem for the full compressible Navier-Stokes equations and isentropic compressible Navier-Stokes equations with constant and degenerate viscosities in arbitrary dimensions under some restrictions on the initial data. In particular, the results hold true for the full compressible Euler equations and isentropic compressible Euler equations and the blow-up time can be computed in a more precise way. It is not required that the initial data has compact support or contain vacuum in any finite regions. Moreover, a simplified and unified proof on the blow-up results to the classical solutions of the full compressible Navier-Stokes equations without heat conduction by Xin \cite{Xin} and with heat conduction by Cho-Bin \cite{CJ} will be given.

연구 동기 및 목표

• 임의의 공간 차원에서 일정하고 열화된 점성도를 갖는 압축성 나비에-스토크스 및 올레르 방정식에 대한 고전적 해의 폭발을 확립하는 것.
• 초기 데이터가 컴팩트 지지 또는 특정 영역 내 진공이 존재한다는 제한적인 가정을 제거하는 것.
• 열전도가 있는가 없는가에 관계없이 전체 압축성 나비에-스토크스 방정식의 폭발 결과에 대해 단순화되고 통합된 증명을 제공하는 것.
• 등온 및 비등온 경우 모두에서 폭발 시간에 대한 정확한 추정을 도출하는 것.
• 밀도에 의존하는 점성도를 갖는 모델로의 분석 확장을 포함하여, 얕은 수면(Saint-Venant) 시스템을 포함한 경우에도 적용하는 것.

제안 방법

• 에너지 추정과 미분 부등식을 통해 잠재 에너지 함수수 $ I(t) $ 와 그 시간에 따른 변화를 유도한다.
• 속도의 가중 $ L^2 $-노름인 $ J(t) $ 를 사용한 수정된 에너지 방법을 적용하며, $ IJ(t) = I(t) \cdot J(t) $ 를 정의한다.
• 시간에 의존하는 계수를 갖는 임계적인 미분 부등식 $ \frac{d}{dt}IJ(t) \leq C_1(t) IJ(t) + C_2(t) IJ(t)^{\frac{\alpha-1}{\gamma-1}} $ 를 적용한다.
• 시간 가중 지수 항을 포함한 그론발 유형 부등식을 사용하여 $ IJ(t) $ 의 성장을 통제하며, 계수가 음수가 될 경우 폭발이 발생함을 도출한다.
• 계수의 감쇠를 보장하기 위해 $ \gamma < 1 + \frac{2}{n} $ 와 $ \frac{\gamma+1}{2} < \alpha \leq \gamma $ 를 적용한다.
• 모순을 통해 폭발을 증명하며, $ I(t) \to 0 $ 가 너무 빠르게 수렴하지 않으면 해가 특이점에 도달함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일정하고 열화된 점성도를 갖는 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대한 부드러운 해가 어떤 조건에서 유한 시간 내에 폭발하는가?
• RQ2 컴팩트 지지 초기 데이터나 진공 존재를 가정하지 않고도 폭발을 증명할 수 있는가?
• RQ3 등온 및 전체 압축성 모델에서 폭발 시간을 더 정확히 추정할 수 있는가?
• RQ4 열전도가 있는가 없는가에 관계없이 전체 압축성 나비에-스토크스 방정식의 폭발 결과에 대해 통합된 증명을 구성할 수 있는가?
• RQ5 점성 법칙의 선택(일정 vs. 밀도에 의존하는)이 부드러운 해의 폭발 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 열전도가 있는 일정 점성도를 갖는 전체 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대해서도, 컴팩트 지지나 진공 초기 데이터 없이도 부드러운 해의 폭발이 발생한다.
• 등온 경우에 $ \gamma < 1 + \frac{2}{n} $ 이면, 약한 초기 데이터 조건 하에서 해는 유한 시간 내에 폭발한다.
• 1차원에서는 $ I(t) \leq C (1+t)^{1-\gamma} \exp\left(-C_{30}/(1+t)^{C_{28}}\right) $ 와 같이 추정되며, $ n \geq 2 $ 차원에서는 $ I(t) \leq C (1+t)^{-n(\gamma-1)} \exp\left(-C_{27}/(1+t)^{C_{28}}\right) $ 로 추정되어 급격한 감쇠가 특이점의 존재를 시사한다.
• 이 방법은 열전도가 있는가 없는가에 관계없이 전체 압축성 나비에-스토크스 방정식의 폭발 결과에 대해 단순화되고 통합된 증명을 제공한다.
• 폭발 결과는 압축성 올레르 방정식과 등온 올레르 방정식로까지 확장되며, 명시적인 폭발 시간 추정이 가능하다.
• 점성도가 $ h(\rho) = \rho^\alpha $, $ g(\rho) = (\alpha-1)\rho^\alpha $, $ \alpha > 1 - \frac{1}{n} $ 인 열화된 점성도 경우를 다루며, 얕은 수면 모델은 특수한 경우로 포함된다.