[논문 리뷰] Remarks on local controllability for the Boussinesq system with Navier boundary condition

Cristhian Montoya|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 29.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 라우르-슬립 경계 조건과 내부 제어를 갖는 2D 및 3D 보신스끄 시스템에 대해 국소 정확한 제어 가능성을 확립한다. 2D에서는 열 방정식에 대해 오직 하나의 제어만을 사용하고, 3D에서는 두 개의 스칼라 제어를 사용한다. 핵심 기여는 고려된 제어 가정이 최소한일 때도 고정점 추론과 가중 에너지 부등식을 통해 영 제어 가능성을 보장하는 새로운 애드조인트 시스템에 대한 카르레만 추정을 도출한 것이다.

ABSTRACT

This note deals with the local exact controllability to a particular class of trajectories for the Boussinesq system with nonlinear Navier-slip boundary conditions and internal controls having vanishing components. Briefly speaking, in two dimensions, the local exact controllability property is obtained using only one control in the heat equation, meanwhile two scalar controls are required in three dimensions.

연구 동기 및 목표

• 비선형 라우르-슬립 및 뉴먼 경계 조건을 갖는 보신스끄 시스템에 대해 궤적의 일정한 클래스로의 국소 정확한 제어 가능성을 확립하기.
• 특히 3D에서 이전 결과들에 비해 필요한 스칼라 제어의 수를 줄이기.
• 온도 필드에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 2D에서는 열 방정식에 대해 오직 하나의 제어만을 사용하고, 3D에서는 두 개의 스칼라 제어를 사용하여 제어 가능성을 증명하기.
• 라우르-슬립 조건을 갖는 라우르-스톡스 및 보신스끄 시스템에 대한 기존의 영 제어 가능 결과를 유체-열 시스템으로 확장하기.

제안 방법

• 선형화된 보신스끄 방정식의 애드조인트 시스템에 대한 새로운 카르레만 추정을 유도하며, 이는 의사볼록 함수 η에 의존하는 가중 함수를 포함한다.
• 카르레만 부등식의 맥락에서 가중 소볼레프 공간과 에너지 추정을 사용하여 해와 그 도함수를 제어한다.
• 비선형 경계 조건 (f(y))tg 와 비선형 시스템의 대류 항 (y · ∇θ) 을 다루기 위해 고정점 정리를 적용한다.
• 해와 제어의 적분 가능성과 정규성을 보장하기 위해 특정한 지수 가중치를 갖는 함수 공간 E를 구성한다.
• 관측 가능성과 제어 가능성 간의 이중성 원리를 활용하여, 애드조인트 시스템을 통해 카르레만 추정을 제어 가능성 결과와 연결한다.
• 제어 효과를 국소화하고 강력한 부등식을 도출하기 위해 매개변수화된 가중 함수 β(x,t)와 그 최대/최소값 형태 (β*, bβ)를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2D에서 라우르-슬립 조건을 갖는 보신스끄 시스템에 대해 오직 하나의 제어만을 사용하여 국소 정확한 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 라우르-슬립 및 뉴먼 조건 하에서 3D에서 국소 정확한 제어 가능성을 확보하기 위해 필요한 스칼라 제어의 최소 수는 얼마인가?
• RQ3 온도 필드 θ의 정규성이 제어 가능성 결과와 카르레만 추정의 타당성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 라우르-스톡스 시스템에 사용된 방법론을 비선형 경계 조건을 갖는 보신스끄 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 비제로 속도장을 갖는 보신스끄 시스템에서도 라우르-스톡스의 경우와 유사하게 N−1 제어 결과를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 2D에서는 주어진 경계 조건과 정규성 조건 하에 열 방정식에 대해 오직 하나의 제어만을 사용하여 궤적 방향으로의 국소 정확한 제어 가능성이 달성된다.
• 3D에서는 국소 정확한 제어 가능성을 확보하기 위해 두 개의 스칼라 제어가 필요하며, 이는 라우르-슬립 조건을 갖는 라우르-스톡스 시스템에 필요한 최소 수와 일치한다.
• 의사볼록 함수 η와 지수 매개변수에 의존하는 가중치를 갖는 새로운 카르레만 추정이 애드조인트 시스템에 대해 확립되었으며, 이는 λ ≥ λ₀ 및 s ≥ s₀(λ) 일 때 유효하다.
• 카르레만 부등식 (7) 은 오른쪽 항과 국소화된 제어 항에 대해 애드조인트 시스템의 해에 대한 전역적 바운드를 제공하며, 이는 이중성 추론을 가능하게 한다.
• 두 개의 고정점 정리(한 개는 경계 비선형성에, 다른 한 개는 대류 항에 적용)를 통해 선형화된 시스템의 영 제어 가능 결과가 비선형 시스템으로 확장된다.
• 이 결과는 제어 수를 줄이고 라우르-슬립 조건을 갖는 보신스끄 시스템로 프레임워크를 확장함으로써 이전의 연구들 [1] 및 [13] 을 향상시킨다.