[논문 리뷰] Representation homology of topological spaces

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 45인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 표현 다양체의 유도적 확장으로서 위상공간의 표현 호몰로지 표현을 도입하며, 단순군 위의 유도 함자와 함자 호몰로지의 조합을 통해, 매립의 표현 호몰로지와 고차 호흐실트 호몰로지 사이의 동형을 확립한다. 주요 기여는 ℝ³ 내의 링크 보완공간에 대한 표현 호몰로지를 일반 호흐실트 호몰로지와 동일시하여 링크의 새로운 대수적 불변량을 도출하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study representation homology of topological spaces, which is a natural homological extension of representation varieties of fundamental groups. We give an elementary construction of representation homology parallel to the Loday-Pirashvili construction of higher Hochschild homology; in fact, we establish a direct geometric relation between the two theories by proving that the representation homology of the suspension of a (pointed connected) space is isomorphic to its higher Hochschild homology. We also construct some natural maps and spectral sequences relating representation homology to other homology theories associated with spaces (such as Pontryagin algebras, $S^1$-equivariant homology of the free loop space and stable homology of automorphism groups of f.g. free groups). We compute representation homology explicitly (in terms of known invariants) in a number of interesting cases, including spheres, suspensions, complex projective spaces, Riemann surfaces and some 3-dimensional manifolds, such as link complements in $\R^3$ and the lens spaces $ L(p,q) $. In the case of link complements, we identify the representation homology in terms of ordinary Hochschild homology, which gives a new algebraic invariant of links in $\R^3$.

연구 동기 및 목표

• 기본군의 표현 다양체의 호몰로지적 확장을 개발하여, 그 특이점과 아스페리컬 공간 이외의 적용 범위 제한을 해결한다.
• 루다-피라시빌리의 고차 호흐실트 호몰로지에 영감을 받은, 파생 함자와 함자 범주의 기반을 이용한 표현 호몰로지의 기하학적 및 대수적 프레임워크를 수립한다.
• 표현 호몰로지가 포인터니 알제브라, 자유 루프 공간의 S¹-동차 호몰로지, 자유 군의 자동사상군의 안정 호몰로지와 같은 다른 호몰로지 이론과 어떻게 관련되는지 규명한다.
• 구체적인 공간들, 즉 구, 매립, 리만 곡면, 렌즈 공간과 링크 보완공간을 포함한 3차원 다양체에 대해 표현 호몰로지를 명시적으로 계산한다.
• 링크 보완공간의 표현 호몰로지를 일반 호흐실트 호몰로지와 동일시하여 ℝ³ 내 링크에 대한 새로운 대수적 불변량을 구축한다.

제안 방법

• 단순군 위의 비아벨 유도 함자를 통해 표현 호몰로지를 정의하여, 고전적 표현 다양체를 일반화한다.
• 루다-피라시빌리의 고차 호흐실트 호몰로지 구축 방식과 유사한, 함자 범주의 고전적 호몰로지 대수학을 이용한 등가 표현을 제공한다.
• 기본 연결된 공간의 매립의 표현 호몰로지와 그 고차 호흐실트 호몰로지 사이의 직접 동형을 확립한다.
• 자연스러운 스펙트럴 시퀀스와 맵을 구성하여 표현 호몰로지를 자유 루프 공간의 S¹-동차 호몰로지와 Aut(Fn)의 안정 호몰로지와 연결한다.
• 모델 범주론과 바우셸드-칸 근사법을 활용하여 호모토피 코일리미트를 도출하고, 왼쪽 모델 근사의 맥락에서 유도 함자를 수립한다.
• 이론을 적용하여 S^n, ΣX, ℂP^n, 리만 곡면, 링크 보완공간과 렌즈 공간 L(p,q)를 포함한 특정 공간들의 표현 호몰로지를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본군의 표현 다양체는 어떻게 고차 호모토피 정보를 포착하는 호몰로지 이론으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 특히 매립에 대해서는 표현 호몰로지와 고차 호흐실트 호몰로지 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 표현 호몰로지는 포인터니 대수나 자유 루프 공간의 S¹-동차 호몰로지와 같은 다른 고전적 호몰로지 이론과 어떻게 관련될 수 있는가?
• RQ4 공, 복소 프로젝티브 공간, 3차원 다양체와 같은 주요 위상공간에 대해 표현 호몰로지의 명시적 계산은 무엇인가?
• RQ5 ℝ³ 내 링크 보완공간의 표현 호몰로지는 새로운 링크 불변량을 제공하는가? 만약 그렇다면, 호흐실트 호몰로지와의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 기본 연결된 공간의 매립의 표현 호몰로지는 그 고차 호흐실트 호몰로지와 동형이 되며, 이는 두 이론 간의 직접적인 기하학적 연결을 확립한다.
• ℝ³ 내 링크 보완공간의 경우, 표현 호몰로지는 특정 대수의 일반 호흐실트 호몰로지와 동형이 되며, 이는 링크에 대한 새로운 대수적 불변량을 제공한다.
• 구 S^n 과 매립 ΣX 의 표현 호몰로지는 고지된 불변량, 즉 호흐실트 호몰로지와 유도 함자 등을 통해 명시적으로 계산된다.
• 렌즈 공간 L(p,q)의 표현 호몰로지는 명시적으로 계산되었으며, 이는 매개변수 p와 q에 의존함을 보여준다.
• 리만 곡면의 표현 호몰로지는 계산되었으며, 그 기본군의 기하학과 특성 다양체와의 관련성을 보여준다.
• 자연스러운 스펙트럴 시퀀스와 맵을 구성하여 표현 호몰로지가 자유 루프 공간의 S¹-동차 호몰로지와 Aut(Fn)의 안정 호몰로지와 연결되며, 더 깊은 구조적 연결을 드러낸다.