[논문 리뷰] Representation theory of 2-groups on finite dimensional 2-vector spaces

Josep Elgueta|arXiv (Cornell University)|2004. 08. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 카프란وف와 보예보츠키의 복소 2벡터 공간의 2카테고리에서 2군의 표현 이론을 개발하며, 등가류를 2군의 호모토플리 그룹과 3코호몰로지 불변량을 통해 계산한다. 선형 및 순열 표현이 2표현 카테고리에 완전히 통합됨을 보이며, 사상과 합성 함자에 대한 명시적 구성이 제공된다.

ABSTRACT

In this paper, the 2-category $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$ of (weak) representations of an arbitrary (weak) 2-group $\mathbb{G}$ on (some version of) Kapranov and Voevodsky's 2-category of (complex) 2-vector spaces is studied. In particular, the set of equivalence classes of representations is computed in terms of the invariants $π_0(\mathbb{G})$, $π_1(\mathbb{G})$ and $[α]\in H^3(π_0(\mathbb{G}),π_1(\mathbb{G}))$ classifying $\mathbb{G}$. Also the categories of morphisms (up to equivalence) and the composition functors are determined explicitly. As a consequence, we obtain the the {\it monoidal} category of linear representations (more generally, the category of $[z]$-projective representations, for any given cohomology class $[z]\in H^2(π_0(\mathbb{G}),\mathbb{C}^*)) of the first homotopy group $π_0(\mathbb{G})$ as well as its category of representations on finite sets both live in $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$, the first as the monoidal category of endomorphisms of the trivial representation (more generally, as the category of morphisms between suitable 1-dimensional representations) and the second as a subcategory of the homotopy category of $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$.

연구 동기 및 목표

• 카프란وف와 보예보츠키가 정의한 복소 2벡터 공간의 2카테고리 내에서 2군에 대한 포괄적인 표현 이론을 개발하는 것.
• 임의의 2군 𝔾에 대한 2Matℂ 위의 약한 표현의 등가류를 호모토플리 그룹 π₀(𝐺), π₁(𝐺), 그리고 [α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺))와 같은 위상적 불변량을 통해 분류하는 것.
• 2표현 카테고리 내의 1사상(중첩자) 및 합성 함자 카테고리의 명시적 결정.
• π₀(𝐺)의 선형 표현의 모노이드 카테고리와 유한 집합 위의 순열 표현의 카테고리가 2표현 카테고리의 호모토플리 카테고리의 부분카테고리로 포함됨을 통합하는 것.
• π₀(𝐺)의 유한 집합 표현의 카테고리에서 2표현의 호모토플리 카테고리로의 2함수를 수립하며, 대상에 대해 완전 충실성은 보장하지만 사상에 대해서는 그렇지 않음을 보이는 것.

제안 방법

• 2군의 호모토플리 그룹 π₀(𝐺)와 π₁(𝐺), 그리고 약한 2군의 구조를 등가류로 분류하는 3코호몰로지 [α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺))를 이용한 2군의 분류를 활용한다.
• 유한한 표준 2벡터 공간 ℂ의 직합으로서의 객체와 벡터 공간의 행렬로 주어진 사상으로 구성된 2행렬 표현을 통해 2군 𝔾의 표현을 구성한다.
• 표현 간의 1사상을 삼중체 (R, I, I)로 정의하며, 여기서 R은 벡터 공간의 행렬이고 I는 항등 중첩자이며, 2카테고리 구조에서 유도된 일관성 조건을 만족한다.
• 유한 집합 위에서 π₀(𝐺)의 순열 표현을 이용하여, R(f)가 순열 행렬이 되는 관련 2행렬 표현을 통해 2표현을 구성한다.
• π₀(𝐺)의 유한 집합 표현의 카테고리에서 2표현의 호모토플리 카테고리로의 2함수 F를 수립하며, 각 쌍 (n, ρ)을 2행렬 표현 ℝ_{n,ρ}로 매핑한다.
• 호모토플리 카테고리에 유도된 함수가 본질적으로 단사적이며, 대상에 대해 완전 충실하지만, 중첩자의 차원 제약으로 인해 사상에 대해서는 전부가 아님을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카프란وف와 보예보츠키의 2벡터 공간 위에서 2군 𝔾의 약한 표현의 등가류는 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ2 2표현 카테고리 내의 1사상(중첩자) 및 합성 함자 카테고리의 명시적 구조는 무엇인가?
• RQ3 선형 표현은 π₀(𝐺)의 기본군의 자명한 2표현의 내부자로서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 π₀(𝐺)의 유한 집합 위의 순열 표현은 2표현 카테고리에 통합될 수 있으며, 만약 가능하면 어떻게 이루어지는가?
• RQ5 2군의 2표현 카테고리와 그 기본군의 표현의 호모토플리 카테고리 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 2군 𝔾의 2Matℂ 위에서의 약한 표현의 등가류 집합은 π₀(𝐺), π₁(𝐺), 그리고 [α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺))에 의해 분류된다.
• π₀(𝐺)의 선형 표현의 모노이드 카테고리는 자명한 2표현의 내부자 카테고리로 포함되며, 보다 일반적으로 [z]-프로젝티브 표현은 1차원 표현 간의 사상으로서 나타난다.
• π₀(𝐺)의 유한 집합 위의 순열 표현의 카테고리는 2함수 F를 통해 2표현 카테고리의 호모토플리 카테고리에 완전 충실하게 포함되며, 이때 각 (n, ρ)는 2행렬 표현 ℝ_{n,ρ}로 매핑된다.
• 호모토플리 카테고리에 유도된 함수 Ho(F)는 본질적으로 단사적이다. 즉, 2표현 카테고리 내에서 동치인 표현들은 순열 표현에서도 동치이다.
• 그러나 Ho(F)는 전부가 아니며, 이미지 내의 1-중첩자는 랭크-1 행렬(선형 번들)으로 제한되어 있으나, 일반적인 중첩자는 임의의 랭크를 가질 수 있으므로, 이미지가 완전한 부분카테고리가 되지 못한다.
• 순열 행렬 R(f)를 사용하여 1-중첩자의 명시적 공식을 제시하며, 항등 중첩자 I와 함께, 2코호몰로지 β, β′가 자명할 경우 일관성 조건이 자명하게 성립함을 검증한다.