[논문 리뷰] Representing multipliers of the Fourier algebra on non-commutative $L^p$ spaces

Matthew Daws|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|2009. 06. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 국소 콪그룹 $ G $ 의 오른쪽 von Neumann 대수와 관련된 비가환 $ L^p $ 공간들의 직합 위에서 완전유계 승수 대수 $ M_{cb}A(G) $ 의 정준 등장각 표현을 구성한다. $ A_2(\hat{G}) $ 가 $ L^1(G) $ 와 등장각 동형임을 증명하고 아벨 경우를 일반화하며, 이러한 공간들로부터 구성된 새로운 Figa-Talamanca–Herz 유형 대수 $ A_p(\hat{G}) $ 를 도입하고, 이 대수가 $ C^*_\lambda(G) $ 의 밀집 부분대수를 포함하고 있음을 보인다.

ABSTRACT

We show that the multiplier algebra of the Fourier algebra on a locally compact group $G$ can be isometrically represented on a direct sum on non-commutative $L^p$ spaces associated to the right von Neumann algebra of $G$. If these spaces are given their canonical Operator space structure, then we get a completely isometric representation of the completely bounded multiplier algebra. We make a careful study of the non-commutative $L^p$ spaces we construct, and show that they are completely isometric to those considered recently by Forrest, Lee and Samei; we improve a result about module homomorphisms. We suggest a definition of a Figa-Talamanca--Herz algebra built out of these non-commutative $L^p$ spaces, say $A_p(\hat G)$. It is shown that $A_2(\hat G)$ is isometric to $L^1(G)$, generalising the abelian situation.

연구 동기 및 목표

• Fourier 대수 $ A(G) $ 의 승수 대수에 대한 비가환 $ L^p $ 공간 위에서 정준 등장각 표현을 구성하는 것.
• 복소 보간과 비가환 $ L^p $ 공간을 이용하여 Pontryagin과 Young의 쌍대성 프레임워크를 비아벨 군으로 확장하는 것.
• 이러한 비가환 $ L^p $ 공간들로부터 구성된 새로운 Figa-Talamanca–Herz 유형 대수 $ A_p(\hat{G}) $ 를 정의하고 연구하는 것.
• $ A_2(\hat{G}) $ 가 정준 등장각 동형으로 $ L^1(G) $ 와 일치함을 보이는 것, 아벨 경우를 일반화하는 것.
• $ 1 < p < ∞ $ 에 대해 $ A_p(\hat{G}) $ 가 $ C^*_\lambda(G) $ 의 밀집 부분대수를 포함함을 증명하는 것.

제안 방법

• $ G $ 의 오른쪽 von Neumann 대수와 관련된 비가환 $ L^p $ 공간 $ L^p(\hat{G}) $ 를 복소 보간을 통해 구성하며, 가중치와 쌍대군의 구조를 사용한다.
• $ p_n \to 1 $ 인 경우, $ E = \bigoplus_{n} L^{p_n}(\hat{G}) $ 에 $ \ell^2 $-노름과 정준 연산자 공간 구조를 부여한다.
• 왼쪽 정규 표현과 $ L^2(G) $ 와 $ L^2(\hat{G}) $ 를 연결하는 연산자 $ K $ 를 이용하여 $ A(G) \otimes_{\gamma} A(G) $ 에 대한 $ \mathcal{B}(E) $ 위의 표현 $ \pi^p_* $ 를 정의한다.
• $ \pi^p_* $ 의 상이 $ A_p(\hat{G}) $ 와 일치하고, $ \pi^p_* $ 가 등장각이자 약한*–약한* 연속임을 보인다.
• $ E $ 에 있는 연산자 공간 구조를 이용하여 $ M_{cb}A(G) $ 의 완전유계 표현을 정의하고, 이것이 완전 등장각이자 약한*–약한* 연속임을 보인다.
• $ C_{00}(G)^2 $ 에서의 커플링과 지지도 제어를 통한 구성으로 $ A_p(\hat{G}) $ 가 $ C^*_\lambda(G) $ 의 밀집 부분대수를 포함함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ MA(G) $ 는 $ VN(G) $ 와 관련된 비가환 $ L^p $ 공간들의 직합 위에서 등장각 표현을 가질 수 있는가?
• RQ2 비아벨 군에 대해 비가환 $ L^p $ 공간을 통해 정의된 Figa-Talamanca–Herz 대수 $ A_p(G) $ 의 자연스러운 일반화가 존재하는가?
• RQ3 정준 등장각에 의해 $ A_2(\hat{G}) $ 는 아벨 경우를 일반화하여 $ L^1(G) $ 와 일치하는가?
• RQ4 대수 $ A_p(\hat{G}) $ 는 스스로 바나흐 대수인가, 아니면 오직 $ C^*_\lambda(G) $ 의 밀집 부분대수인가?
• RQ5 $ L^p(\hat{G}) $ 에서의 모듈로 작용은 함수의 점별 곱으로 실현될 수 있으며, 이러한 공간들은 [10]의 것들과 완전 등장각인가?

주요 결과

• $ MA(G) $ 는 $ p_n \to 1 $ 인 $ \ell^2 $-직합 $ E = \bigoplus_n L^{p_n}(\hat{G}) $ 위에서 약한*–약한* 연속적인 등장각 표현을 갖는다.
• $ E $ 가 정준 연산자 공간 구조를 지닐 때, $ M_{cb}A(G) $ 는 $ \mathcal{CB}(E) $ 에 완전 등장각이고 약한*–약한* 연속적으로 통합된다.
• $ A_2(\hat{G}) $ 는 정준 등장각으로 $ L^1(G) $ 와 일치하며, $ A_2(\hat{G}) $ 의 몫노름은 $ \lambda(L^1(G)) $ 의 $ L^1 $-노름과 일치한다.
• $ A_p(\hat{G}) $ 는 $ C_{00}(G)^2 $ 에서의 커플링과 지지도 제어를 통해 구성된 밀집 부분집합을 포함하며, 이는 $ C^*_\lambda(G) $ 의 부분대수를 이룬다.
• 복소 보간을 통해 구성된 비가환 $ L^p(\hat{G}) $ 공간들은 Forrest, Lee, Samei 가 정의한 것들과 완전 등장각이며, 그들의 모듈로 호모모르피즘 결과를 향상시킨다.
• 이 구성은 [10]의 코homological 결과를 $ p \in (1,\infty) $ 전역으로 확장할 수 있는 자연스러운 프레임워크를 제공한다. 이는 $ p \geq 2 $ 에서만 성립했던 것의 일반화이다.