[논문 리뷰] Representing Random Permutations as the Product of Two Involutions

Charles Burnette, Eric Schmutz|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 21.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $n$ 개의 원소로 이루어진 무작위 치환을 두 개의 치환의 곱으로 표현하는 방법의 수인 $\mathbf{N}_n(\sigma)$가 $n \to \infty$일 때 점점 더 로그 정규분포에 수렴함을 증명한다. 증명의 핵심은 $\mathbf{N}_n(\sigma)$가 순환 길이의 곱인 $\mathbf{B}_n(\sigma)$에 의해 잘 근사된다는 것을 보이는 데 있다. 이는 에르되시와 투란이 이미 증명한 $\mathbf{B}_n(\sigma)$의 점근적 로그 정규분포 성질을 이용하여 $\mathbf{N}_n$의 로그 정규극한법칙을 이전하는 데에 기반한다.

ABSTRACT

An involution is a permutation that is its own inverse. Given a permutation $σ$ of $[n],$ let $\mathbf{N}_{n}(σ)$ denote the number of ways to write $σ$ as a product of two involutions of $[n].$ If we endow the symmetric groups $S_{n}$ with uniform probability measures, then the random variables ${\mathbf N}_{n}$ are asymptotically lognormal. The proof is based upon the observation that, for most permutations $σ$, $\mathbf{N}_{n}(σ)$ can be well approximated by $\mathbf{B}_{n}(σ),$ the product of the cycle lengths of $σ$. Asymptotic lognormality of $\mathbf{N}_{n}$ can therefore be deduced from Erdős and Turán's theorem that $\mathbf{B}_{n}$ is itself asymptotically lognormal.

연구 동기 및 목표

• 무작위 치환 $\sigma \in S_n$을 두 개의 치환의 곱으로 표현하는 방법의 수인 $\mathbf{N}_n(\sigma)$의 점근적 분포를 규명하는 것.
• 루고의 추측을 해결하는 것: 즉, 균일 무작위 치환 측도 하에서 $\mathbf{N}_n$이 점점 더 로그 정규분포에 수렴하는가를 밝히는 것.
• $\mathbf{N}_n(\sigma)$와 순환 길이의 곱인 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 사이의 연결 고리를 확립하여, 대부분의 치환에 대해 $\mathbf{N}_n(\sigma)$가 $\mathbf{B}_n(\sigma)$에 잘 근사됨을 보이는 것.
• 기존에 알려진 $\mathbf{B}_n(\sigma)$의 점근적 로그 정규분포 성질을 활용하여 $\mathbf{N}_n(\sigma)$의 동일한 극한 법칙을 도출하는 것.

제안 방법

• 치환 $\sigma$에 포함된 $k$-순환의 수인 $c_k$를 이용하여, $\mathbf{N}_n(\sigma) = \prod_{k=1}^n \sum_{j=0}^{\lfloor c_k/2 \rfloor} \frac{k^{c_k - j} c_k!}{2^j j! (c_k - 2j)!}$라는 명시적 공식을 사용하여 분해의 구조를 분석한다.
• 순환 분해에 기반한 구성적 분해 증명을 통해 $\mathbf{N}_n(\sigma) \geq \mathbf{B}_n(\sigma) = \prod_k k^{c_k}$임을 확립한다.
• 순환 수에 대한 확률적 경계를 적용한다: $\mathbb{P}_n(c_k \geq 2 \text{ for some } k \geq \xi) = O(1/\xi)$ 및 $\mathbb{P}_n(c_k \geq \xi \text{ for some } k \leq \xi) = O(\xi/e^\xi + \xi/n)$이며, 이는 대부분의 치환에서 긴 순환이 적다는 것을 시사한다.
• 확률적으로 높은 수준에서 $\mathbf{N}_n(\sigma) \leq (c \xi^\xi)^\xi \mathbf{B}_n(\sigma)$를 만족시키며, 이때 $\xi = \sqrt{\log n}$으로 설정한다. 이 값은 $\sigma_n = \sqrt{\frac{1}{3}\log^3 n}$보다 느리게 증가한다.
• 표준 정규분포의 누적분포함수 $\Phi(x)$의 연속성과 함께, $\mathbf{B}_n(\sigma)$의 점근적 로그 정규분포 성질(여기서 $\mu_n \sim \frac{1}{2}\log^2 n$ 및 $\sigma_n^2 \sim \frac{1}{3}\log^3 n$)을 이용하여 극한 법칙을 $\mathbf{N}_n(\sigma)$로 이전한다.
• 상한과 하한의 尾확률 경계를 조합하여 $\mathbb{P}_n(\log \mathbf{N}_n \leq \mu_n + x\sigma_n) \to \Phi(x)$임을 보이며, 점근적 로그 정규분포임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 치환을 두 개의 치환의 곱으로 표현하는 방법의 수인 $\mathbf{N}_n(\sigma)$는 점점 더 로그 정규분포에 수렴하는가?
• RQ2 $\mathbf{N}_n(\sigma)$와 순환 길이의 곱인 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 사이의 관계는 무엇이며, 이 근사의 정도는 확률적으로 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ3 대부분의 치환 $\sigma$에 대해 $\mathbf{N}_n(\sigma)$의 일반적인 크기 척도는 어느 정도인가?
• RQ4 왜 평균 $\mathbb{E}_n[\mathbf{N}_n]$는 잘못된 크기로 보일 수 있으며, 분포는 왜 $\exp(\frac{1}{2}\log^2 n)$ 주변에 집중되어 있는가?
• RQ5 분해의 조합론적 복잡성이 더 높은데도 불구하고, $\mathbf{B}_n(\sigma)$의 점근적 로그 정규분포 성질이 $\mathbf{N}_n(\sigma)$로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 균일 무작위 치환 $\sigma \in S_n$을 두 개의 치환의 곱으로 분해하는 방법의 수를 세는 랜덤 변수 $\mathbf{N}_n$은 점점 더 로그 정규분포에 수렴한다: $n \to \infty$일 때 $\mathbb{P}_n(\log \mathbf{N}_n \leq \mu_n + x\sigma_n) \to \Phi(x)$이다.
• 대부분의 치환 $\sigma$에 대해 $\mathbf{N}_n(\sigma)$는 $e^{(\frac{1}{2}-\epsilon)\log^2 n} < \mathbf{N}_n(\sigma) < e^{(\frac{1}{2}+\epsilon)\log^2 n}$를 만족하며, 이는 $\exp(\frac{1}{2}\log^2 n)$ 주변에서 로그 스케일에서 집중되어 있음을 시사한다.
• $\mathbf{N}_n(\sigma)$는 $\mathbf{B}_n(\sigma) = \prod_k k^{c_k}$, 즉 $\sigma$의 순환 길이의 곱에 의해 높은 확률로 잘 근사된다.
• 순환 수의 경계를 통한 근사 오차 통제: $\xi = \sqrt{\log n}$일 때, 확률 $1 - O(1/\xi + \xi/n + \xi/e^\xi)$에서 $\mathbf{N}_n(\sigma) \leq (c \xi^\xi)^\xi \mathbf{B}_n(\sigma)$이다.
• 에르되시와 투란이 증명한 $\mathbf{B}_n(\sigma)$의 점근적 로그 정규분포 성질(여기서 $\mu_n \sim \frac{1}{2}\log^2 n$ 및 $\sigma_n^2 \sim \frac{1}{3}\log^3 n$)은 $\mathbf{N}_n(\sigma)$의 동일한 극한 법칙을 유도한다.
• $\mathbf{N}_n(\sigma)$의 최댓값은 항등 치환에서만 달성되는 $|\mathcal{T}_n|$이며, 최솟값은 단일 $(n-1)$-순환을 가진 치환에서 $n-1$이 된다.