[논문 리뷰] The cycle structure of compositions of random involutions

Michael Lugo|ArXiv.org|2009. 11. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 $S_n$ 내에서 두 랜덤 치환의 조합의 순환 구조를 조사하며, 일반적으로 순환 길이가 $\sqrt{n}$인 순환 약 $\sqrt{n}$개를 가지며, 고정점이 없는 치환의 경우 $\log n$개의 순환을 가짐을 보여준다. 그래프 이론적 모델을 통해 지수 생성함수를 유도하고, 임의의 치환을 두 치환의 곱으로 분해하는 방법의 수가 渐近적으로 로그정규분포를 이룬다는 것을 증명한다. 중앙값은 약 $\exp((\log n)^2/2)$ 에 가까운데, 이는 균일 분포와는 크게 다른 분포임을 시사한다.

ABSTRACT

In this article we consider the cycle structure of compositions of pairs of involutions in the symmetric group S_n chosen uniformly at random. These can be modeled as modified 2-regular graphs, giving rise to exponential generating functions. A composition of two random involutions in S_n typically has about n^(1/2) cycles, and the cycles are characteristically of length n^(1/2). Compositions of two random fixed-point-free involutions, on the other hand, typically have about log n cycles and are closely related to permutations with all cycle lengths even. The number of factorizations of a random permutation into two involutions appears to be asymptotically lognormally distributed, which we prove for a closely related probabilistic model. This study is motivated by the observation that the number of involutions in [n] is (n!)^(1/2) times a subexponential factor; more generally the number of permutations with all cycle lengths in a finite set S is n!^(1-1/m) times a subexponential factor, and the typical number of k-cycles is nearly n^(k/m)/k. Connections to pattern avoidance in involutions are also considered.

연구 동기 및 목표

• 임의의 치환 $\sigma, \tau$가 $S_n$ 내에서 랜덤 치환일 때 $\tau \circ \sigma$의 순환 구조를 이해하는 것.
• 2색 그래프를 사용하여 이러한 조합을 모델링하고 지수 생성함수를 도출하는 것.
• 랜덤 치환의 조합에서 순환 수와 길이의 분포를 분석하는 것.
• 치환을 두 치환의 곱으로 분해하는 방법의 수, 특히 그 渐近적 분포를 조사하는 것.
• 치환, 순환 유형, 패턴을 피하는 치환 간의 연결 고리 탐색

제안 방법

• 치환을 부분 매칭으로 표현하고, 그 조합을 경로와 순환을 가진 2색 그래프로 표현하는 것.
• 다변수 지수 생성함수를 사용하여 순환 구조와 구성 요소 유형을 코딩하는 것.
• 사다리꼴 및 渐近적 분석을 적용하여 평균 순환 수와 길이 분포를 유도하는 것.
• 분해 수를 순환 유형에 대한 곱으로 모델링하여 로그정규 극한 법칙을 이끌어내는 것.
• 리아풀로프의 중심극한정리 적용을 통해 $\log F(\pi)$, 즉 분해 수의 로그의 渐近적 정규성을 증명하는 것.
• 분해와 레이블이 부여된 그래프 순환 사이의 전단사 사상 수립을 통해 짝수 순환 길이를 가진 치환의 분해 수를 세는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 치환 $\sigma, \tau$에 대해 $S_n$ 내에서 두 치환의 조합에서 순환의 일반적인 수와 길이 분포는 무엇인가요?
• RQ2 치환이 고정점이 없는 것으로 제약을 받을 경우 순환 구조는 어떻게 변화합니까?
• RQ3 랜덤 치환을 두 치환의 곱으로 분해하는 방법의 수의 渐近적 분포는 무엇인가요?
• RQ4 이러한 분해 수는 치환의 순환 유형과 어떻게 관련이 있습니까?
• RQ5 분해 수와 로그정규 극한 행동 간의 연결 고리는 무엇입니까?

주요 결과

• 랜덤 치환 $\sigma, \tau$에 대해 $\tau \circ \sigma$의 평균 순환 수는 $\sqrt{n} + \frac{1}{2}\log n + O(1)$ 이다.
• 고정점이 없는 치환의 경우, 순환 수는 $\log n$을 평균으로 하고 $2\log n$을 분산으로 하여 渐近적으로 정규분포를 이룬다.
• 랜덤 치환을 두 치환의 곱으로 분해하는 방법의 수는 渐近적으로 로그정규분포를 이룬다. 중앙값은 약 $\exp\left(\frac{1}{2}(\log n)^2\right)$ 에 가까운데, 이는 균일 분포와는 크게 다른 분포임을 시사한다.
• 분해 수의 기대값은 渐近적으로 $\frac{e^{2\sqrt{n}}}{\sqrt{8\pi e n}}(1+o(1))$ 이다.
• 모든 순환 길이가 짝수인 치환에 대해, 고정점이 없는 치환으로의 분해 수는 $\prod_{k=1}^n (c_k - 1)!! \, k^{c_k/2}$ 이다. 여기서 $c_k$ 는 $k$-순환의 수이다.
• 모든 $c_k$ 가 짝수인 치환의 비율(즉, 이러한 분해가 가능한 치환)은 $\Theta(n^{-2})$ 이다.