[논문 리뷰] Rewriting in higher dimensional linear categories and application to the affine oriented Brauer category

Clément Alleaume|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 애핀 방향 브라우어 분류체(AOB)의 기초 정리에 대한 구축 증명을 제공하기 위해 선형 (3,2)-다형도에 대한 재기호 이론을 개발한다. 무게 함수를 도입하고 재기호 체계의 감소성을 증명함으로써, 정지 조건이 필요 없이 연속성을 확립함으로써, AOB의 사상 공간이 버블이 있는 정규 순서의 점이 찍힌 방향 브라우어 다이어그램으로서 기초를 갖는다는 것을 검증한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a rewriting theory of linear monoidal categories. Those categories are a particular case of what we will define as linear (n, p)-categories. We will also define linear (n, p)-polygraphs, a linear adapation of n-polygraphs, to present linear (n -- 1, p)-categories. We focus then on linear (3, 2)-polygraphs to give presentations of linear monoidal categories. We finally give an application of this theory in linear (3, 2)-polygraphs to prove a basis theorem on the category AOB with a new method using a rewriting property defined by van Ostroom: decreasingness.

연구 동기 및 목표

• 고차원 선형 범주, 특히 선형 (n,p)-범주와 (n,p)-다형도에 대한 재기호 이론을 개발하기 위해.
• 재기호 체계를 사용하여 애핀 방향 브라우어 분류체(AOB)의 기초 정리에 대한 구축 증명을 제시하기 위해.
• AOB의 재기호 체계에서 정지 조건이 없기 때문에 뉴먼의 보조정리가 적용되지 않는 상황에서, 정지 조건 대신 더 강력한 성질인 감소성을 사용하여 이를 극복하기 위해.
• 비판적 분기 분석과 감소성을 통해 선형 (3,2)-다형도 AOB의 연속성을 확립하여, 사상 공간에 대해 유일한 정규형이 존재하도록 보장하기 위해.
• 정규 순서의 점이 찍힌 방향 브라우어 다이어그램과 버블로 구성된 기초가 AOB의 각 사상 공간에서 선형 독립이면서 생성 집합임을 검증하기 위해.

제안 방법

• 논문은 (n−1,p)-범주를 나타내기 위해 n-다형도를 선형화한 선형 (n,p)-범주와 선형 (n,p)-다형도를 정의한다.
• AOBℓ₂의 2-세포에 대해 복잡도를 측정하고 재기호가 준위형으로 향하도록 이끄는 무게 함수 τ를 도입한다.
• 재기호 체계는 감소성이라는 성질을 사용하여 분석되며, 이는 정지 조건이 필요 없는 연속성의 일반화이다.
• 비판적 분기를 분석하여 국소적 연속성을 검증하고, 준위형으로 향하는 최소 재기호 경로 길이에 기반한 잘 서렬된 순서를 사용하여 감소성을 증명한다.
• 2-세포의 재기호 알고리즘이 정규 순서의 점이 찍힌 방향 브라우어 다이어그램의 선형 조합으로 종료되며, 이는 정규형이 동치 관계를 제외하고 유일함을 보장한다.
• 감소성이 연속성을 암시한다는 반 오스트룸의 정리를 활용하여, AOB의 연속적인 표현을 구성할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애핀 방향 브라우어 분류체(AOB)에 대해 기초 정리의 구축 증명을 제공하는 재기호 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 AOB와 같이 정지 조건이 없는 재기호 체계에서 연속성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 뉴먼의 보조정리가 정지 조건이 없기 때문에 적용 불가능한 상황에서 감소성의 역할은 무엇인가?
• RQ4 슬라이딩 및 이소토피 3-세포는 AOB의 재기호 체계에서 연속성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 AOB의 모든 2-세포는 버블이 있는 정규 순서의 점이 찍힌 방향 브라우어 다이어그램에 해당하는 고유한 정규형으로 재기호될 수 있는가?

주요 결과

• 선형 (3,2)-다형도 AOB는 감소성을 갖는 것으로 증명되었으며, 이는 정지 조건이 없더라도 연속성을 암시한다.
• AOB의 재기호 체계는 비판적 분기 분석을 통해 국소적 연속성을 갖는 것으로 확인되었다.
• AOBℓ₂의 모든 2-세포는 준위형 2-세포로 재기호될 수 있으며, 이는 정규 순서의 점이 찍힌 방향 브라우어 다이어그램과 버블을 포함한다.
• 정규 순서의 점이 찍힌 방향 브라우어 다이어그램과 버블로 구성된 기초는 AOB의 각 사상 공간에 대해 선형 독립적인 생성 집합을 이룬다.
• 준위형 2-세포는 다른 준위형 2-세포의 선형 조합으로 재기호되지 않으며, 이는 정규형의 유일성을 보장한다.
• 감소성을 통해 AOB의 연속성이 확립되었으며, 이는 [BCNR14]의 기초 정리에 대한 구축 증명을 제공한다.