[논문 리뷰] Riemannian quantum circuit optimization for Hamiltonian simulation

Ayse Kotil, Rahul Banerjee외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 하미르토니안 시뮬레이션을 위한 트로터-수즈키 기반 양자 회로의 성능을 향상시키기 위해 리만 기하학적 최적화 프레임워크를 제안한다. 여기서 양자 게이트는 다양체 위의 일반적인 유니터리 행렬로 간주된다. 텐서 네트워크 기법과 함께 리만 신뢰영역 알고리즘을 사용함으로써, 일차원 이징 및 허츠베르그 모델에 대해 표준 사차수 분할 방법 대비 수개의 순서수준 향상된 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

Hamiltonian simulation, i.e., simulating the real time evolution of a target quantum system, is a natural application of quantum computing. Trotter-Suzuki splitting methods can generate corresponding quantum circuits; however, a faithful approximation can lead to relatively deep circuits. Here we start from the insight that for translation invariant systems, the gates in such circuit topologies can be further optimized on classical computers to decrease the circuit depth and/or increase the accuracy. We employ tensor network techniques and devise a method based on the Riemannian trust-region algorithm on the unitary matrix manifold for this purpose. For the Ising and Heisenberg models on a one-dimensional lattice, we achieve orders of magnitude accuracy improvements compared to fourth-order splitting methods. The optimized circuits could also be of practical use for the time-evolving block decimation (TEBD) algorithm.

연구 동기 및 목표

• 고차수 트로터-수즈키 근사로 인해 발생하는 깊은 양자 회로 문제를 해결한다.
• 모든 유니터리 게이트를 파arametrized 게이트가 아닌 전체 유니터리 게이트로 최적화하여, 파arametrized 변이형 회로의 한계를 극복한다.
• 이동 불변성과 텐서 네트워크 기법을 활용하여 대규모 시스템에 대한 양자 회로 최적화를 효율적으로 가능하게 한다.
• 양자 회로의 허상도 향상과 회로 깊이 감소를 위한 확장 가능한 고전적 최적화 프레임워크를 개발한다.
• 최적화된 회로를 시간진화 블록 분할(TEDB) 및 향후 2차원 시뮬레이션에 실용적으로 적용할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 목표 시간진화 연산자와 회로의 유니터리 변환 간의 거리 최소화 문제로 양자 회로 최적화 문제를 공식화한다. 이는 유니터리 행렬 다양체 위에서 수행된다.
• 리만 신뢰영역 알고리즘을 적용하여 게이트 행렬 $ G_{ heta} $ 를 최적화한다. 이는 $ \mathcal{U}(d^2) $ 다양체 위의 점으로 간주되며, 리만 기하학을 활용해 효율적인 내림값을 구한다.
• 텐서 네트워크 기법을 사용해 기울기와 업데이트 방향을 효율적으로 계산함으로써 전체 상태벡터 재구성의 필요성을 피한다.
• 복소수 미분을 위해 위르팅어 형식을 활용하여 비용 함수의 유니터리 행렬에 대한 리만 기울기를 계산한다.
• 유한 체적 효과를 억제하고 더 큰 시스템으로의 확장 가능성을 확보하기 위해 주기적 경계 조건을 갖는 벽돌 쌓기 회로 레이아웃을 사용한다.
• 고정된 진화 시간 $ t \sim 1 $ 에 대해 게이트를 최적화하여, 회로 반복을 통해 정수 배수의 시간 진화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 최적화를 통한 전체 유니터리 게이트 최적화가 트로터-수즈키 기반 양자 회로의 정확도를 상당히 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 유니터리 행렬의 일반적 최적화는 파arametrized 게이트 최적화와 비교해 허상도와 회로 깊이 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 작은 시스템에 대해 최적화된 회로가 큰 이동 불변 시스템으로 신뢰성 있게 외삽 가능한가?
• RQ4 제안된 방법이 TEBD와 같은 고전적 시뮬레이션 알고리즘의 성능을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 주기적 경계 조건이 이 방법의 최적화 및 확장성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 일차원 이징 및 허츠베르그 모델에 대해 표준 사차수 트로터-수즈키 분할 방법 대비 수개의 순서수준 향상된 허상도를 달성한다.
• 빛의 원추 구조와 이동 불변성 덕분에 최적화된 회로는 훈련 크기를 초월한 대규모 시스템에 대해서도 높은 정확도를 유지하며, 신뢰할 수 있는 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 리만 신뢰영역 알고리즘이 고정밀도 해에 성공적으로 수렴함으로써, 양자 회로 설계에 있어 다양체 기반 최적화의 효과성을 입증한다.
• 빛의 원추 조건을 만족하는 한, 장거리 상호작용을 포함한 시스템에도 적용 가능하다.
• 회로를 연결하여 여러 시간 단계에 걸쳐 동일한 최적화된 게이트를 재사용할 수 있어, 깊이 감소를 통한 확장 가능한 시간 진화가 가능하다.
• 이 프레임워크는 2차원 격자 및 이동 불변성이 없는 시스템으로도 확장 가능하지만, 시스템 크기가 증가함에 따라 계산 비용이 증가한다.