[논문 리뷰] Right-angled Artin pro-$p$ groups

Ilir Snopce, Pavel Zaleskii|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 단순 복합체 그래프 $\Gamma$ 와 관련된 직각 아르틴 프로-$p$ 군 $G_{\Gamma}$ 가 블로흐-카토 프로-$p$ 군이 되는 것과 $\Gamma$ 가 4사이클($C_4$) 또는 길이 3의 경로($L_3$)를 포함하지 않는 것 사이의 이항 조건을 증명한다. 군론적 성질 여섯 가지—일관성, 순환 없는 아벨화, $\mathbb{Z}_p$ 로부터의 기본 구조, 최대 프로-$p$ 갈루아 군으로의 실현, 부분군에 대한 닫힘—의 동치는 콰드렐리와 와이겔의 추측을 확인하고, 데 클레르크와 플로렌스의 스무스니스 추측을 검증한다.

ABSTRACT

Let $p$ be a prime. The right-angled Artin pro-$p$ group $G_Γ$ associated to a fnite simplicial graph $Γ$ is the pro-$p$ completion of the right-angled Artin group associated to $Γ$. We prove that the following assertions are equivalent: (i) no induced subgraph of $Γ$ is a square or a line with four vertices (a path of length 3); (ii) every closed subgroup of $G_Γ$ is itself a right-angled Artin pro-$p$ group (possibly infinitely generated); (iii) $G_Γ$ is a Bloch-Kato pro-$p$ group; (iv) every closed subgroup of $G_Γ$ has torsion free abelianization; (v) $G_Γ$ occurs as the maximal pro-$p$ Galois group $G_K(p)$ of some field $K$ containing a primitive $p$th root of unity; (vi) $G_Γ$ can be constructed from $\mathbb{Z}_p$ by iterating two group theoretic operations, namely, direct products with $\mathbb{Z}_p$ and free pro-$p$ products. This settles in the affirmative a conjecture of Quadrelli and Weigel. Also, we show that the Smoothness Conjecture of De Clercq and Florens holds for right-angled Artin pro-$p$ groups. Moreover, we prove that $G_Γ$ is coherent if and only if each circuit of $Γ$ of length greater than three has a chord.

연구 동기 및 목표

• Quadrelli와 Weigel의 추측을 해결한다: $G_{\Gamma}$ 가 블로흐-카토 프로-$p$ 군일 조건은 $\Gamma$ 가 유도된 $C_4$ 또는 $L_3$ 부분그래프를 포함하지 않을 때이다.
• 모든 유한 생성 닫힌 부분군이 유한 생성 표현을 갖는 $G_{\Gamma}$ 의 일관성 조건을 규명한다.
• 데 클레르크와 플로렌스의 스무스니스 추측을 직각 아르틴 프로-$p$ 군에 대해 검증한다.
• 다섯 가지 군론적 성질 간의 완전한 동치 관계를 확립한다: $G_{\Gamma}$ 의 최대 프로-$p$ 갈루아 군으로의 실현 포함.
• $\mathbb{Z}_p$ 에서 출발하여 자유 및 직접 프로-$p$ 곱을 통해 $G_{\Gamma}$ 의 구조적 특성화를 제공한다.

제안 방법

• 프로-$p$ 군 표현을 사용하여 $G_{\Gamma}$ 를 $\Gamma$ 와 관련된 추상적 직각 아르틴 군의 프로-$p$ 완비화로 정의한다.
• 부분군의 코homological 유한성 성질을 분석하기 위해 코homology 에서의 메이어-비에토리스 수열을 적용한다.
• 부분군의 구조를 연구하기 위해 자연스러운 준동형사상 $f: G_{\Gamma} \to \mathbb{Z}_p$ 의 핵 $K_{\Gamma}$ 를 구성한다.
• 나무의 정점 수에 대한 귀납법을 사용하여 $K_T$ 가 유한 계수의 자유 프로-$p$ 군임을 증명한다.
• 비-체결 그래프인 $\Gamma$ 에서 $K_{\Gamma}$ 를 분석하기 위해 병합된 자유 프로-$p$ 곱 분해를 사용한다.
• 이미 알려진 이차 코homology 대수와 블로흐-카토 추측의 결과를 활용하여 군론적 성질과 갈루아론적 성질을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 $\Gamma$ 가 어떤 조건을 만족할 때, 직각 아르틴 프로-$p$ 군 $G_{\Gamma}$ 가 블로흐-카토 프로-$p$ 군이 되는가?
• RQ2 모든 유한 생성 닫힌 부분군이 유한 생성 표현을 갖는 $G_{\Gamma}$ 가 일관성 있는가?
• RQ3 $G_{\Gamma}$ 는 자유 및 직접 프로-$p$ 곱만을 사용하여 $\mathbb{Z}_p$ 로부터 구성될 수 있는가?
• RQ4 $G_{\Gamma}$ 는 $p$-단위 원근을 포함하는 체 $K$ 의 최대 프로-$p$ 갈루아 군 $G_K(p)$ 로서 실현될 수 있는가?
• RQ5 데 클레르크와 플로렌스의 스무스니스 추측은 직각 아르틴 프로-$p$ 군에 대해 유효한가?

주요 결과

• 여섯 가지 성질—유도된 $C_4$ 또는 $L_3$ 가 없음, $G_{\Gamma}$ 가 블로흐-카토 군임, 모든 닫힌 부분군이 순환 없는 아벨화를 가짐, $G_{\Gamma}$ 가 $G_K(p)$ 로 실현 가능함, $G_{\Gamma}$ 가 자유 및 직접 프로-$p$ 곱을 통해 $\mathbb{Z}_p$ 로부터 구성 가능함, 모든 닫힌 부분군이 직각 아르틴 프로-$p$ 군임—은 모두 동치이다.
• $G_{\Gamma}$ 가 일관성 있는 것은 $\Gamma$ 의 길이 3 초과의 순환마다 끝점 간의 변이 존재할 때이다.
• 나무 $T$ 가 유한할 때, $G_T \to \mathbb{Z}_p$ 의 사상에서의 핵 $K_T$ 는 유한 계수의 자유 프로-$p$ 군이다.
• $\Gamma$ 가 체결이 아닐 경우, $K_{\Gamma}$ 의 두 번째 코homology 가 무한 차원이므로 $G_{\Gamma}$ 는 일관성이 없다.
• $\Gamma$ 가 유도된 $C_4$ 또는 $L_3$ 를 포함할 경우, $G_{\Gamma}$ 는 블로흐-카토 프로-$p$ 군이 아니며, 이는 콰드렐리와 와이겔의 추측을 확인한다.
• 데 클레르크와 플로렌스의 스무스니스 추측은 직각 아르틴 프로-$p$ 군에 대해 성립한다. 코homological 차원과 구조가 추측된 조건과 일치한다.