[논문 리뷰] Right Bousfield Localization and Operadic Algebras

David White, Donald Yau|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 41인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 단일 모델 범주에서 오른쪽 Bousfield 국소화가 색칠된 작도로 표현된 대수적 구조를 보존하는 일반적인 조건을 확립한다. 국소화가 단일적이며 작도가 각 성분별로 국소화될 경우, 작도에 대한 대수 위의 유도된 모델 구조가 존재하고 국소화에 대해 보존됨을 증명한다. 이는 고전적 결과를 복원하고 위상공간, 체인 복합체, 등변 범주, 그리고 소형 범주에서 새로운 보존 정리들을 증명한다.

ABSTRACT

It is well known that under some general conditions right Bousfield localization exists. We provide general conditions under which right Bousfield localization yields a monoidal model category. Then we address the questions of when this monoidal model structure on a right Bousfield localization induces a model structure on the category of algebras over a colored operad and when a right Bousfield localization preserves colored operadic algebras. We give numerous applications, to topological spaces, equivariant spaces, chain complexes, stable module categories, and to the category of small categories. We recover a wide range of classical results as special cases of our theory, and prove several new preservation results.

연구 동기 및 목표

• 단일 모델 범주에서 오른쪽 Bousfield 국소화가 색칠된 작도에 대한 대수의 구조를 보존하는 조건을 규명하는 것.
• 국소화된 범주가 작도 대수와 호환되는 단일 모델 구조를 상속할 수 있는 충분한 조건을 설정하는 것.
• 각 성분별로 국소화된 색칠된 작도가 국소화된 범주에서 그 대수 위에 모델 구조를 유도함을 증명하는 것.
• 기존의 보존 결과를 특수한 경우로 회복하고, 위상공간, 체인 복합체, 소형 범주와 같은 다양한 범주에서 새로운 결과를 증명하는 것.
• 비자명한 단일 구조와 국소화 유도자와 함께 작도 대수 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 국소화된 모델 구조에서 프로덕트 충돌 공리가 성립하도록 보장하는 단일 오른쪽 Bousfield 국소화의 개념을 도입하는 것.
• 작도에 대한 대수의 범주에서 전이된 모델 구조와 반모델 구조를 사용하며, 단위 공리와 교환 법칙 단위 공리를 기반으로 하는 것.
• 각 성분이 국소화 집합 K에 대해 국소화되는 성분별로 국소화된 색칠된 작도 이론을 적용하는 것.
• [BR14]와 [SS00]의 결과를 활용하여 국소화된 범주에서 단위 공리가 성립함을 검증하는 것. 이는 결합 및 교환 법칙 작도에 대해 성립한다.
• 모든 객체가 이중형일 경우, Cat와 같은 범주에서 Barrat-Eccles 및 A∞-작도와 같은 작도에 대한 대수 위에 모델 구조를 구성하는 것.
• 오른쪽 Bousfield 국소화의 보편 성질을 사용하여 K-국소화 동치를 보존하는 함자를 국소화를 통해 인수화할 수 있도록 하여 보존 결과를 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오른쪽 Bousfield 국소화가 색칠된 작도에 대한 대수 위의 모델 구조를 보존하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 단일 모델 범주에서 오른쪽 Bousfield 국소화가 여전히 단일 구조를 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 어떤 색칠된 작도가 그 대수들이 국소화에 대해 보존되도록 보장하는가? 특히 작도가 각 성분별로 국소화될 경우에 대해.
• RQ4 소형 범주, 등변 공간, 안정 모듈 범주와 같은 범주에서 국소화에 의해 작도 대수 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 위상공간의 셀 구조화나 체인 복합체 위의 삽입 모델 구조와 같은 고전적 결과들이 이 틀을 통해 복원되고 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 색칠된 작도가 국소화 집합 K에 대해 각 성분별로 국소화될 경우, 오른쪽 Bousfield 국소화는 그 작도에 대한 대수의 구조를 보존한다.
• 원래 범주가 단위 공리를 만족하고 국소화가 프로덕트 충돌 조건을 유지할 경우, 국소화된 범주는 단일 모델 구조를 상속한다.
• 결합 작도의 경우, [BR14]와 [SS00]의 결과에 따라 국소화된 범주에서 단위 공리가 성립하므로, 결합 대수 위에 모델 구조가 존재함을 보장한다.
• 교환 법칙 작도의 경우, 국소화된 범주에서 단위 공리와 교환 법칙 단위 공리가 성립함을 [Whi14a]에서 보여주었으므로 보존이 성립한다.
• 소형 범주에서 모든 객체가 이중형이므로, 작도 대수 위의 반모델 구조는 전체 모델 구조와 일치하여 구성 과정을 단순화한다.
• 안정 모듈 범주와 등변 호모토피 이론에의 응용에서, 생성 집합 K가 단일 연산에 대해 적절히 닫혀 있을 경우, 국소화가 교환 법칙 및 결합 모노이드를 보존함을 보여준다.