[논문 리뷰] Rigidity and height bounds for certain post-critically finite endomorphisms of projective space

Patrick Ingram|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특정한 단항 다항식 사상과 전체적으로 불변인 초평면을 가지며, d차 거듭제곱 사상 제한 조건을 만족하는 프로젝티브 공간의 후보-비판적-유한(PCF) 내재사상에 대해 Thurston 유형의 강성 결과를 확립한다. 이는 이 가족 내 PCF 사상들이 가чёт한 수의 0차원 부분다양체의 합집합임을 증명하고, 산술적 높이 등가를 유도하여 PCF 사상이 유한한 Weil 높이를 가지며 수체 위에서 정의됨을 보여준다.

ABSTRACT

The holomorphic endomorphism f of projective space is called post-critically finite (PCF) if the forward image of the critical locus, under iteration of f, has algebraic support (i.e., is a finite union of hypersurfaces). In the case of dimension 1, a deep result of Thurston implies that there are no algebraic families of PCF morphisms, other than a well-understood exceptional class known as the flexible Lattes maps. This note proves a corresponding result in arbitrary dimension, for a certain subclass of morphism. Specifically, we restrict attention to morphisms f of degree at least two, with a totally invariant hyperplane H, such that the restriction of f to H is the dth power map in some coordinates. This condition defines a subvariety of the space of coordinate-free endomorphisms of projective space (of a given dimension). We prove that there are no families of PCF maps in this space, and derive several related arithmetic results.

연구 동기 및 목표

• 프로젝티브 공간의 특정 부분군에 속하는 후보-비판적-유한(PCF) 내재사상에 대해 강성 결과를 확립하기 위해.
• 단항 다항식 내재사상의 모듈리 공간에서 PCF 사상의 궤적(위치)이 가чёт한 수의 0차원 부분다양체의 합집합임을 증명하기 위해.
• 기하학적 Weil 높이와 임계 탈출률 함수 사이의 산술적 높이 등가를 유도하여, PCF 사상의 높이가 유계임을 보여주기 위해.
• 이 가족 내 모든 PCF 사상이 수체 위에서 정의됨을 보여주어 산술기하학 방법을 적용할 수 있도록 하기 위해.
• 2차원 예제에서 컴퓨터적 검증을 통해 모든 PCF 사상을 분류하고, 그것들이 알려진 예와 동형임을 확인하기 위해.

제안 방법

• 초평면 $H$가 전체적으로 불변이며, $f|_H$ 가 좌표상에서 $d$-승 거듭제곱 사상과 일치하는 $\mathbb{P}^N$ 의 내재사상의 부분군을 정의하기 위해.
• 대수기하학과 변형 이론을 사용하여 이 가족 내 유일한 PCF 사상은 모듈리 공간에서 고립되어 있음을 증명하기 위해 (0차원).
• 지역 $v$-adic 분석을 통한 분지 초점 궤적의 기반으로 임계 탈출률 함수 $h_{\mathrm{crit}}(f)$ 를 정의하기 위해.
• $p$-adic 및 아르키메데스 기반 추정을 사용하여, $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에서 정의된 사상에 대해 높이 등가 $h_{\mathrm{crit}}(f) = h_{\mathrm{Weil}}(f) + O(1)$ 를 확립하기 위해.
• Weil 높이의 Northcott 성질을 적용하여, 이 가족 내 PCF 사상의 높이가 유계임을 유도하기 위해.
• Sage와 Maple를 사용하여 2차원 경우의 명시적 계산과 검증을 수행하여, 동형 관계에 대해 가능한 모든 PCF 사상을 분류하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체적으로 불변인 초평면을 가진 단항 다항식 사상의 부분군 내에서, 후보-비판적-유한 내재사상의 양의 차원 가속 가속이 존재하는가?
• RQ2 이 가족의 사상들에 대해 임계 탈출률 $h_{\mathrm{crit}}(f)$ 와 기하학적 Weil 높이 $h_{\mathrm{Weil}}(f)$ 가 관련될 수 있는가?
• RQ3 이 가족 내 모든 PCF 사상은 유한한 Weil 높이를 가지며, 수체 위에서 정의되는가?
• RQ4 2차원 경우에서 차수 2일 때, PCF 사상의 완전한 동형류 집합은 무엇인가?
• RQ5 이러한 사상의 임계 궤도 구조는 계산적 및 산술적 방법을 통해 완전히 분류될 수 있는가?

주요 결과

• 특성 0 또는 $p > d$ 인 대수적으로 닫힌 체 $k$ 에 대해, $\mathsf{P}^N_d(k)$ 내 PCF 사상의 궤적은 가чёт한 수의 0차원 부분다양체의 합집합이며, 이는 강성 결과를 증명한다.
• 모든 PCF 사상은 $\mathbb{C}$ 위에서 정의된 $\mathbb{Q}$ 의 유한 확대 위에 존재하므로, $\mathsf{P}^N_d(\overline{\mathbb{Q}})$ 내에 속한다.
• 임계 탈출률 $h_{\mathrm{crit}}(f)$ 와 Weil 높이 $h_{\mathrm{Weil}}(f)$ 는 $f \in \mathrm{Pow}^N_d(\overline{\mathbb{Q}})$ 에 대해 $h_{\mathrm{crit}}(f) = h_{\mathrm{Weil}}(f) + O(1)$ 을 만족하며, 이는 PCF 사상의 높이가 유계임을 암시한다.
• 2차원 2차 사상의 경우, 체계적 검색과 계산을 통해, $a,d$ 가 짝수이며 $|a|,|b|,|c|,|d| \leq 119$ 인 정수 4차수 $(a,b,c,d) \in \mathbb{Z}^4$ 중에서 PCF 사상이 가능한 것은 총 22개 뿐임을 확인하였다.
• 남은 22개의 PCF 사상은 모두 6개의 알려진 예와 동형이며, 임계 궤도의 구조는 단변수 PCF 사상 $w \mapsto w^2 + c$ 와 일치한다.
• 127개의 후보 4차수 중 105개에 대해서는 계수 크기 추정을 통해 $\lambda_{\mathrm{crit},\infty}(f) > 0$ 이 확인되었고, 나머지 경우는 $f^3_*(C_f)$, $f^4_*(C_f)$, 또는 $f^5_*(C_f)$ 의 고차 수준을 사용하여 임계 궤도의 탈출 없음을 검증하였다.