[논문 리뷰] Rigidity of the mod 2 families Seiberg-Witten invariants and topology of families of spin 4-manifolds

Tsuyoshi Kato, Hokuto Konno외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 스핀 4-다양체 가족의 mod 2 가족 Seiberg-Witten 불변량에 대한 강성 정리를 확립하며, 이들이 선형화된 Seiberg-Witten 방정식과 가상 인덱스 번들의 유일한 함수로 의존함을 보여준다. 가족 형태의 10/8-부등식을 증명하여, 스무스 가능하지 않은 위상적 가족들과 작용에 대한 새로운 예를 제시하고, n≤3인 K3#nS²×S² 다양체에 대해 Diff(M)↪Homeo(M)는 약한 호모토피 동치가 아님을 보였다.

ABSTRACT

We show a rigidity theorem for the Seiberg-Witten invariants mod 2 for families of spin 4-manifolds. A mechanism of this rigidity theorem also gives a family version of 10/8-type inequality. As an application, we prove the existence of non-smoothable topological families of 4-manifolds whose fiber, base space, and total space are smoothable as manifolds. These non-smoothable topological families provide new examples of 4-manifolds $M$ for which the inclusion maps $\operatorname{Diff}(M) \hookrightarrow \operatorname{Homeo}(M)$ are not weak homotopy equivalences. We shall also give a new series of non-smoothable topological actions on some spin 4-manifolds.

연구 동기 및 목표

• 스핀 4-다양체 가족에서의 mod 2 가족 Seiberg-Witten 불변량에 대한 강성 정리를 확립하기.
• 적절한 위상수학적 조건 하에서 푸루타의 10/8-부등식의 가족 형태를 유도하기.
• 섬, 기저, 전체 공간이 모두 스무스 가능할 수 있는 스무스 가능하지 않은 위상적 4-다양체 가족의 새로운 예를 구성하기.
• 가족 10/8-부등식을 사용하여 스핀 4-다양체 위에 새로운 스무스 가능하지 않은 위상적 작용을 탐지하기.
• n≤3인 K3#nS²×S²와 동형인 특정 4-다양체 M에 대해 inclusion map Diff(M)↪Homeo(M)가 약한 호모토피 동치가 아님을 보여주기.

제안 방법

• 가상 인덱스 번들과 양의 두 번째 베텅 수 조건을 사용하여, Z/2에서의 가족 Seiberg-Witten 불변량을 정의한다.
• 기저 B 위에서 디랙 연산자와 H⁺ 번들로부터 KO_Pin(2)(B)에 속하는 등급화된 인덱스 번들 α(X,s_X)를 구성한다.
• FSW^Z2(X,s_X)가 고차원 데이터에 의존하지 않고 α(X,s_X)에만 의존함을 증명함으로써 강성을 확립한다.
• 유리수 국소화와 보편 포트랴진 클래스를 사용하여 등급화된 K-이론에서 인덱스 번들을 계산한다.
• 등급화된 장애 이론을 적용하여 가족의 전체 공간에서 스무스 가능성을 해치는 장애를 분석한다.
• 스 suspension isomorphism와 Bredon 코hom올로지의 조합을 통해 장애 클래스와 忘却 사상에 의한 이미지를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 mod 2 가족 Seiberg-Witten 불변량은 선형화된 Seiberg-Witten 방정식에 의해 강성 있게 결정될 수 있는가?
• RQ2 b₊ ≥ dim B + 2 조건을 만족하는 스핀 4-다양체 가족에 대해 10/8-부등식의 가족 형태가 성립하는가?
• RQ3 섬, 기저, 전체 공간이 모두 스무스 가능한 스무스 가능하지 않은 위상적 4-다양체 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 스무스 가능하지 않은 가족은 어떤 4-다양체에 대해 Diff(M)↪Homeo(M)가 약한 호모토피 동치가 아님을 암시하는가?
• RQ5 가족 10/8-부등식을 통해 스핀 4-다양체 위에 새로운 스무스 가능하지 않은 위상적 작용을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• mod 2 가족 Seiberg-Witten 불변량 FSW^Z2(X,s_X)는 KO_Pin(2)(B)에 속하는 등급화된 인덱스 번들 α(X,s_X)에 의해 완전히 결정되며, 이는 강성 정리를 증명한다.
• −sign(M_i)/4 −1 −b₊(M_i) + dim B = 0 조건을 만족할 경우, 10/8-부등식의 가족 형태가 성립함을 입증하였다.
• 섬, 기저, 전체 공간이 모두 스무스 가능한 스무스 가능하지 않은 위상적 4-다양체 가족이 존재한다.
• 0≤n≤3인 K3#nS²×S²와 위상적으로 동형인 M에 대해, inclusion map Diff(M)↪Homeo(M)는 약한 호모토피 동치가 아니다.
• 가족 10/8-부등식을 활용하여 스핀 4-다양체 위에 새로운 시리즈의 스무스 가능하지 않은 위상적 작용을 탐지하였다.
• Z/2-작용 하에서, Bredon 코hom올로지에서 忘却 사상의 이미지는 다양체가 옹호 가능할 경우 2Z이며, 비옹호 가능할 경우 0임을 보였다.