[논문 리뷰] Rigidity properties of full groups of pseudogroups over the Cantor set

Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 30.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 47인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 캔터 집합 위의 편미분군의 전체군에 대한 강성 정리들을 수립하여, 이러한 군들 사이의 임의의 준동형사상이 기본이 되는 편미분군 사이의 연속적 준동형사상으로 확장되어야 한다고 보여준다. 핵심 결과는 궤도 그래프 기하학과 호몰로지와 같은 역학적 불변량을 통한 임bedding의 특성화이며, Higman-Thompson 군, 구간 교환 군, 한쪽 방향 SFT 등에 응용되어 $ nV $ 가 $ mV $ 에 임베드되는 것은 $ n \leq m $ 인 경우에 국한됨을 증명한다.

ABSTRACT

We show that the (topological) full group of a minimal pseudogroup over the Cantor set satisfies various rigidity phenomena of topological dynamical and combinatorial nature. Our main result applies to its possible homomorphisms into other groups of homeomorphisms, and implies that arbitrary homomorphisms between the full groups of a vast class of pseudogroups must extend to continuous morphisms between pseudogroups (in particular giving rise to equivariant maps at the level of spaces). As applications, we obtain explicit obstructions to the existence of embeddings between full groups in terms of invariants of the underlying pseudogroups (the geometry of their orbital graphs, the complexity function, dynamical homology), and provide a complete descriptions of all homomorphisms within various families of groups including the Higman-Thompson groups (more generally full groups of one sided shifts of finite type), full groups of minimal $\mathbb{Z}$-actions on the Cantor set, and a class of groups of interval exchanges. We next consider a combinatorial rigidity property of groups, which formalises the inability of a group to act on any set with Schreier graphs growing uniformly subexponentially, or more generally not faster than a given function $f(n)$. For the exponential function this is a well-known consequence of property $(T)$. We use full groups to provide a source of examples of groups which satisfy this property but satisfy a strong negation of property $(T)$. A key tool used in the proofs is the study of the dynamics of the conjugation action of groups on their space of subgroups, endowed with the Chabauty topology. In particular we classify the confined and the uniformly recurrent subgroups of full groups.

연구 동기 및 목표

• 캔터 집합 위의 편미분군의 전체군 간에 비통합 결과를 증명하기 위한 일반적 프레임워크 수립.
• 이러한 전체군 간의 준동형사상이 기본이 되는 편미분군 사이의 연속적 준동형사상으로 확장되는 조건을 특성화.
• 궤도 그래프 기하학, 복잡도 함수, 역학적 호몰로지와 같은 불변량을 사용하여 임베딩의 명시적 차단 조건 제공.
• Chabauty 위상에 의한 제약 및 균일 반복 부분군의 전체군 내 분류.
• 성질 (T)를 갖지 않지만 강성은 매우 강한 군의 예를 제시하며, 이는 궤도 성장 속도가 느림을 보여줌.

제안 방법

• 전체군의 콐터베이티 위상에 의한 부분군 공간의 동역학을 분석하기 위해 캔터베이티 위상을 활용.
• 제약 및 균일 반복 부분군 이론을 적용하여 편미분군의 전체군 내에서 이들의 구조를 분류.
• 확장 정리를 활용하여, 캔터 집합 위의 최소 편미분군의 전체군 간 준동형사상이 편미분군 사이의 연속적 준동형사상으로 확장됨을 보임.
• 연속적 준동형사상에 대해 동역학적 호몰로지 $ H_0 $ 의 함자성질을 활용하여 군의 임베딩과 호몰로지 군의 준동형사상 간의 관계를 규명.
• 군의 고리 그래프의 점근적 차원을 분석하여 준동형사상에 대한 강성 제약 조건 유도.
• Matui 및 Nekrashevych의 대칭 전체군과 도함수군에 관한 결과를 적용하여 임베딩의 장애 요소를 특성화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캔터 집합 위의 편미분군의 전체군 간 준동형사상이 기본 편미분군 사이의 연속적 준동형사상으로 확장되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 한쪽 방향 이산형 이동의 유한형 타입(SFT)의 맥락에서, 전체군 간의 임베딩을 막는 역학적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 성질 (T)를 만족하지 않지만 강성은 매우 강한 전체군이 존재할 수 있으며, 이는 Schreier 그래프의 궤도 성장률과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 군 $ nV $ 가 $ mV $ 에 임베드되는 정확한 조건은 무엇이며, 이는 기본이 되는 군의 고리의 호몰로지와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 전체군 내의 제약 및 균일 반복 부분군은 편미분군의 기본 역학적 동역학을 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 캔터 집합 위의 최소 편미분군의 전체군 간 준동형사상은 기본 편미분군 사이의 연속적 준동형사상으로 확장되며, 이는 기본 공간 위의 $ G $--equivariant 사상으로 유도된다.
• 한쪽 방향 SFT의 전체군 간 임베딩은 군의 고리의 호몰로지에 의해 차단된다: $ \rho: \text{D}(\tilde{\rho}_{\text{SFT}_1}) \to \text{F}(\tilde{\rho}_{\text{SFT}_2}) $ 가 지지집합 $ Z $ 를 가질 때, 그리고 오직 그 때에만 $ \varphi: H_0(\mathcal{G}_{\Sigma_1}) \to H_0(\mathcal{G}_{\Sigma_2}) $ 가 존재하여 $ \varphi([X_{\Sigma_1}]) = [Z] $ 를 만족한다.
• Higman-Thompson 군 $ V_{n,1}' $ 이 $ V_{m,1} $ 에 전이 없이 임베드될 수 있는 것은 $ m-1 $ 이 $ n-1 $ 을 나누는 경우에 국한되며, 그렇지 않으면 모든 이러한 임베딩은 전역 고정점을 가져야 한다.
• 기약 한쪽 방향 SFT 군의 고리의 $ n $ 중복과 $ m $ 중복($ n > m $)에 대해, $ n $-중복의 전체군에서 $ m $-중복으로의 모든 준동형사상은 아벨 이미지를 가진다.
• 고차원 Higman-Thompson 군 $ nV $ 는 $ mV $ 에 임베드될 수 있으며, 이는 $ n \leq m $ 인 경우에 국한되며, 이 증명은 점근적 차원과 호몰로지 장애 요소에 기반한다.
• 논문은 성질 (T)를 만족하지 않지만 조합론적으로 강성 있는 군의 예를 제시하며, 이는 전체군을 통해 이러한 예를 생성한다.