[논문 리뷰] Risk-sensitive Nonzero-sum Stochastic Differential Game with Unbounded Coefficients

Saïd Hamadène, Rui Mu|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다차원 역방향 확률미분방정식(BSDE)를 사용하여, 유계가 아닌 드리프트 계수를 가진 위험 감수성 비제로 합 게임의 내쉬 균형이 존재함을 입증한다. 이전 연구에서 드리프트 계수의 유계성 조건을 완화하여 선형 성장 조건으로 일반화하였으며, 운반자에 대해 이차 및 선형 성장 항을 포함하는 BSDE를 활용하여 일반 조건 하에서 균형 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

This article is related to risk-sensitive nonzero-sum stochastic differential games in the Markovian framework. This game takes into account the attitudes of the players toward risk and the utility is of exponential form. We show the existence of a Nash equilibrium point for the game when the drift is no longer bounded and only satisfies a linear growth condition. The main tool is the notion of backward stochastic differential equation, which in our case, is multidimensional with continuous generator involving both a quadratic term of Z and a stochastic linear growth component with respect to Z.

연구 동기 및 목표

• 드리프트 계수에 대한 제한적인 유계성 조건을 제거함으로써 기존의 위험 감수성 확률미분게임 이론을 확장하는 것.
• 플레이어의 보상이 지수 utility 기반인 비제로 합 위험 감수성 게임에서 내쉬 균형 존재성을 확립하는 것.
• Z 성분에 대해 이차 항을 포함하고 Z에 대해 확률적 선형 성장 조건을 갖는 생성자(Generator)를 가진 다차원 역방향 확률미분방정식(BSDE)을 사용하여 게임을 분석하는 것.
• 드리프트 계수가 무한한 경우를 다루기 위해 BSDE 프레임워크 내에서 새로운 사전 추정치와 수렴 증명 기법을 개발하는 것.
• 특히 고전적 BSDE 이론에서 유계 생성자에 의존하는 이전 결과들을 일반화하는 것.

제안 방법

• 양 플레이어의 지수 utility 함수를 사용하는 마코프 프레임워크 내에서 위험 감수성 확률미분게임을 수립하는 것.
• 유계가 아닌 드리프트 및 확산 계수를 갖는 확률미분방정식(SDE)을 통해 상태 동역학을 모델링하는 것.
• Z 성분에 대해 이차 항을 포함하고 Z에 대해 선형 성장 성분을 갖는 생성자를 가진 다차원 BSDE를 사용하며, 이는 게임의 비용 구조에 의해 구동된다.
• 원래 BSDE를 엄밀히 양수인 해를 갖는 등가 형태로 변환하여 로그 변환 기법을 적용할 수 있도록 하는 것.
• 모멘트 유계와 그로워럴 유형 부등식을 사용하여 변환된 BSDE의 해에 대한 사전 추정치를 확립하는 것.
• 지배 수렴 정리와 콤���성 논증을 통해 근사 수열의 수렴성을 증명하여 원래 BSDE 시스템의 해 존재성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 계수가 무한할 경우, 위험 감수성 비제로 합 확률미분게임에서 내쉬 균형이 존재할 수 있는가?
• RQ2 역방향 확률미분방정식은 지수 utility와 무한한 계수를 갖는 게임의 균형을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 드리프트 및 확산 계수에 어떤 조건이 성립해야 다차원 BSDE의 해가 존재하는가? 이는 Z 성분에 대해 이차 및 선형 성장 항을 포함한다.
• RQ4 드리프트 계수에 대한 유계성 조건을 완화해도 위험 감수성 게임에서 내쉬 균형 존재성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 위험 감수성 비용 함수의 구조를 유지하면서 드리프트의 무한성 문제를 다루기 위해 필요한 수학적 도구는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 드리프트 계수에 대해 선형 성장 조건이 성립할 경우, 위험 감수성 비제로 합 확률미분게임에 내쉬 균형이 존재함을 입증한다.
• 주요 결과는 Z 성분에 대해 이차 항을 포함하고 Z에 대해 확률적 선형 성장 성분을 갖는 생성자를 가진 다차원 BSDE를 통해 확립된다.
• BSDE의 해는 해의 양수성을 보장하기 위한 변환을 거친 후, 원래 가치 함수를 복원하기 위해 로그 변환 기법을 사용하여 도출된다.
• 해에 대한 사전 추정치가 유도되었으며, Z 및 Y 성분의 노름이 적절한 Lq 및 L2 공간 내에서 유계임을 보여준다.
• 지배 수렴 정리와 콤팩트성 논증을 통해 근사 수열의 수렴성이 증명되었으며, 이는 한계 BSDE의 해 존재성을 보장한다.
• 값 함수가 하위이차 성장 특성을 갖는 결정론적 함수의 형태로 표현 가능하다는 것이 입증되었으며, 이는 정규성과 적분 가능성 보장을 의미한다.