[논문 리뷰] Robust calibration and arbitrage-free interpolation of SSVI slices

Pierre Cohort, Jacopo Corbetta외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확장된 SSVI(eSSVI) 볼라티리티 서피스 모델에 대해, 각 만기 슬라이스를 프리워드 근처의 ATM 포인트에 고정하고, 벌리에이션 또는 캘린더 스프레드 아웃리어를 방지하는 재매개변수화를 통해 강력하고 아웃리어 없는 校정 방법을 제시한다. 주요 기여는 캘리브레이션된 매개변수에 대한 간단한 조각별 선형 보간/외삽이 아웃리어 조건을 유지함으로써, 빠르고 단순하며 신뢰할 수 있는 볼라티리티 서피스 구축을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We describe a robust calibration algorithm of a set of SSVI slices (i.e. a set of 3 SSVI parameters $θ, ρ, φ$ attached to each option maturity available on the market), which grants that these slices are free of Butterfly and Calendar-Spread arbitrage. Given such a set of consistent SSVI parameters, we show that the most natural interpolation/extrapolation of the parameters provides a full continuous volatility surface free of arbitrage. The numerical implementation is straightforward, robust and quick, yielding an effective, parsimonious solution to the smile problem, which has the potential to become a benchmark one.

연구 동기 및 목표

• eSSVI 매개변수에 대한 강력한 校정 알고리즘을 개발하여, 모든 만기에서 벌리에이션 및 캘린더 스프레드 아웃리어가 없는 것을 보장한다.
• 슬라이스 매개변수의 보간/외삽 이후에도 결과 볼라티리티 서피스가 연속적이고 아웃리어가 없는지를 확보한다.
• 시장에서 관측된 옵션 가격으로부터 모델에 의존하지 않는, 계산 효율적인 전체 아웃리어 없는 볼라티리티 서피스를 구축하는 방법을 제공한다.
• 위험 관리 및 역사적 서피스 재구성에 적합한, 단순한 저장 및 재사용이 가능한 캘리브레이션된 매개변수를 가능하게 한다.

제안 방법

• 각 SSVI 슬라이스를 $(\rho, \psi)$ 쌍을 사용하여 재매개변수화하며, 여기서 $\psi = \theta \varphi$ 이고, 슬라이스를 프리워드 믹스니스($k^*$, $\theta^*$)에 가장 가까운 시장 데이터 포인트에 고정하여 校정 안정성을 향상시킨다.
• 복잡한 블랙박스 솔버를 피하고 강력한 校정을 보장하기 위해 일변도 Brent 알고리즘을 적용한다.
• 명시적 제약 조건을 통해 아웃리어 조건을 강제한다: $\theta_t \varphi(\theta_t) \leq \frac{4}{1+|\rho|}$ 및 $\theta_t \varphi(\theta_t)^2 \leq \frac{4}{1+|\rho|}$로, 이는 벌리에이션 아웃리어의 부재를 보장한다.
• 만기 간 $\theta_t$, $\rho_t$, $\psi_t$ 에 대해 조각별 선형 보간을 사용하며, 이는 아웃리어 조건을 유지하는 것으로 입증되었다.
• 단기 외삽을 위해 $\theta_t = \lambda \theta_1$, $\psi_t = \lambda \psi_1$, $\rho_t = \rho_1$ 이며 $\lambda = t/T_1$ 를 사용하여, 단기 영역에서 아웃리어가 없는 것을 보장한다.
• 장기 외삽을 위해 $u(t)$ 를 증가하는 연속 함수로 사용하며 $u(T_N) = 0$ 으로 설정하고, $\theta_t = \theta_N + u(t)$, $\psi_t = \psi_N$, $\rho_t = \rho_N$ 로 설정함으로써 장기 영역에서 아웃리어가 없는 것을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 eSSVI 슬라이스에 대해, 일변도 최적화 기반의 강력한 校정을 설계할 수 있으며, 이는 벌리에이션 및 캘린더 스프레드 아웃리어의 부재를 보장할 수 있는가?
• RQ2 eSSVI 매개변수를 만기 간에 간단한 조각별 선형 보간으로 수행할 경우, 결과로 나오는 전체 볼라티리티 서피스에서 아웃리어가 유지되는가?
• RQ3 단기 및 장기 외삽 기법을 구성할 수 있으며, 이는 아웃리어 조건을 유지하면서 동시에 만기 0에서 옵션 가격 함수의 연속성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 결과로 도출된 eSSVI 서피스 구축 방법은 계산 효율적이며 실무적 사용(시장 제작 및 위험 관리)에 적합한가?

주요 결과

• 프리워드 믹스니스 근처의 시장 데이터 포인트에 고정된 $\rho$ 및 $\psi = \theta \varphi$ 를 사용한 재매개변수화는 각 슬라이스를 신뢰할 수 있는 시장 데이터에 기반시켜, 校정의 안정성을 크게 향상시킨다.
• 캘리브레이션에 일변도 Brent 알고리즘을 사용함으로써 계산 효율성이 보장되고, 고차원 최적화에서 흔히 발생하는 수렴 문제를 피할 수 있다.
• 만기 간 $\theta_t$, $\rho_t$, $\psi_t$ 에 대한 조각별 선형 보간은 아웃리어 조건을 유지한다. 이는 단순한 보간 기법에 대해 비현실적으로 어려운 결과이지만 매우 놀라운 성과이다.
• 단기 외삽 기법인 $\theta_t = \lambda \theta_1$, $\psi_t = \lambda \psi_1$, $\rho_t = \rho_1$ 이며 $\lambda = t/T_1$ 를 사용하면, $t \to 0^+$ 일 때 아웃리어가 없고 연속성이 유지된다.
• 장기 외삽은 $\theta_t = \theta_N + u(t)$, $\psi_t = \psi_N$, $\rho_t = \rho_N$ 를 사용하며, $u(t)$ 는 증가하고 $u(T_N) = 0$ 이므로, 모든 만기에서 캘린더 스프레드 아웃리어가 없는 것을 유지한다.
• 전체 프레임워크는 단순하고 신속하며 신뢰할 수 있는 전체 아웃리어 없는 볼라티리티 서피스를 구축할 수 있게 하며, 위험 관리 및 역사적 분석에서의 저장 및 재사용에 적합하다.