[논문 리뷰] Robust Invariant Sets Computation for Switched Discrete-Time Polynomial Systems

Xue Bai, Naijun Zhan|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 28.

Formal Methods in Verification참고 문헌 45인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 장애물이 있는 이산시간 스위치형 다항식 시스템에서 강건한 불변 집합을 계산하기 위한 새로운 방법을 제안한다. 이는 벨먼 유형의 방정식의 유일한 유계 해의 영수준 집합으로서 최대 강건 불변 집합을 특성화함으로써 이루어지며, 수렴을 위해 값 반복을 활용하고 확장성을 위해 정재성 프로그래밍을 사용한다. 이는 고차원 시스템에서 장애물에 대해 보장된 강건성을 갖는 정확하고 효율적인 불변 집합 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we study the robust invariant sets generation problem for discrete-time switched polynomial systems subject to disturbance inputs within the optimal control framework. A robust invariant set of interest is a set of states such that every possible trajectory starting from it never leaves a specified safe set, regardless of actual disturbances. The maximal robust invariant set is shown to be the zero level set of the unique bounded solution to a Bellman type equation, which is a functional equation being widely used in discrete-time optimal control. This is the main contribution of this work. The uniqueness of bounded solutions enables us to solve the derived Bellman type equation using numerical methods such as the value iteration, which provides an approximation of the maximal robust invariant set. In order to increase the scalability of the Bellman equation based method, a semi-definite program, which is constructed based on the derived Bellman type equation, is also implemented to synthesize robust invariant sets. Finally, three examples demonstrate the performance of our methods.

연구 동기 및 목표

• 이산시간 스위치형 비선형 시스템에서 장애물이 존재할 경우 강건 불변 집합을 계산하기 위한 최적 제어 기반 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 이산시간 시스템에서 최대 강건 불변 집합과 벨먼 유형 방정식의 유계 해 사이의 이론적 연결 고리를 설정하기 위해.
• 최대 강건 불변 집합을 근사하기 위한 확장 가능한 계산 방법—값 반복과 정재성 프로그래밍—을 개발하기 위해.
• 세 가지 벤치마크 예제(고차원 케이스 포함)를 통해 제안된 방법의 효과성과 우수성을 입증하기 위해.
• 디지털 제어 시스템이 이산시간 스위치형 다항식 시스템으로 모델링된 경우의 안전성 및 안정성 검증을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 할인 인자가 (0,1)에 속하는 유계 가치 함수를 정의하여, 그 영하위수준 집합이 최대 강건 불변 집합과 일치하도록 한다.
• 최대 강건 불변 집합을 특성화하는 유일한 유계 해를 갖는 벨먼 유형의 함수 방정식을 유도한다.
• 상태 차원이 중간 정도인 시스템에 대해 값 반복을 적용하여 벨먼 방정식을 수치적으로 해석하고, 불변 집합의 근사치를 도출한다.
• 할인 인자가 1일 경우, 벨먼 방정식을 부등식 시스템으로 약화시켜 정재성 프로그래밍(SDP) 형식으로 변환한다.
• SDP 기반 방법을 구성하여 강건 불변 집합을 합성하고, 고차원 시스템에 대한 확장성을 향상시킨다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 계산된 불변 집합의 정확도를 거친 근사치와 비교 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산시간 스위치형 다항식 시스템에서 장애물이 존재할 경우, 최대 강건 불변 집합은 벨먼 유형 방정식의 유일한 유계 해의 영수준 집합으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 할인 인자가 1보다 작을 경우, 벨먼 유형 방정식은 유일한 유계 해를 갖는가? 이는 신뢰할 수 있는 수치 계산을 가능하게 하는가?
• RQ3 값 반복 방법은 이러한 시스템에서 최대 강건 불변 집합을 근사하기 위해 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ4 값 반복이 메모리 오버플로우로 실패할 경우, SDP 기반 방법은 강건 불변 집합을 계산하는 데 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 기존 방법(예: [41]에서 제안된 방법)과 비교해 볼 때, 제안된 SDP 기반 방법은 보수성과 정확도 측면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 최대 강건 불변 집합은 벨먼 유형 방정식의 유일한 유계 해의 영수준 집합으로 정확히 특성화되며, 이는 기초적인 이론적 결과를 확립한다.
• 값 반복은 저차원 시스템(예제 1 및 2)에 대해 최대 강건 불변 집합의 근사치를 성공적으로 계산하지만, 고차원 예제 3에서는 메모리 오버플로우로 인해 실패한다.
• 알고리즘 20의 SDP 기반 방법(20)은 값 반복이 실패하는 예제 3에서도 강건 불변 집합을 성공적으로 계산하여 확장성 향상을 입증한다.
• 예제 1에서는 SDP 기반 방법이 [41]에서 제안된 방법과 거의 구분되지 않는 결과를 도출하여 유사한 정확도를 보인다.
• 예제 2에서는 $d_u = 8$ 및 $d_u = 12$ 조건에서 제안된 SDP 방법이 [41]의 방법보다 보수성이 낮은 불변 집합을 도출하여 성능 향상을 확인한다.
• 예제 3에서는 직접 비교가 어렵지만, 시각적 유사성으로 인해 어려움이 있으나, 값 반복이 실패하는 상황에서도 SDP 방법이 효과적으로 작동함을 확인하여 실용적 유용성을 입증한다.