[논문 리뷰] Rotation set and Entropy

Heber Enrich, Nancy Guelman외 2명|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Llibre와 MacKay의 1991년 결과의 역을 확립한다: 2-토러스 위의 항등사상과 동치인 $C^{1+eta}$ 미분구상에서, 만약 사상이 위상적 전이성과 기약성을 만족한다면, 양의 위상적 엔트로피는 회전집합의 내부가 비어 있지 않음을 의미한다. 이 결과는 특정한 위상적 조건 하에서 동역학적 복잡성(엔트로피)과 기하학적 구조(회전집합의 내부)를 연결한다.

ABSTRACT

In 1991 Llibre and MacKay proved that if $f$ is a 2-torus homeomorphism isotopic to identity and the rotation set of $f$ has a non empty interior then $f$ has positive topological entropy. Here, we give a converselike theorem. We show that the interior of the rotation set of a 2-torus $C^{1+ α}$ diffeomorphism isotopic to identity of positive topological entropy is not empty, under the additional hypotheses that $f$ is topologically transitive and irreducible. We also give examples that show that these hypotheses are necessary.

연구 동기 및 목표

• Llibre와 MacKay의 1991년 결과의 역을 확립하는 것: 이는 회전집합의 내부가 비어 있지 않으면 양의 위상적 엔트로피가 유도됨을 보여준 바 있다.
• 항등사상과 동치인 2-토러스 위의 $C^{1+\alpha}$ 미분구상에서 양의 위상적 엔트로피가 회전집합의 내부가 비어 있지 않음을 의미하는지 조사하는 것.
• 이 역이 성립하는 최소한의 위상적 및 동역학적 조건—특히 위상적 전이성과 기약성—을 규명하는 것.
• 불변집합과 위상적 구조가 회전집합의 기하학을 결정하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 항등사상과 동치인 2-토러스 위의 $C^{1+\alpha}$ 미분구상 $f$의 업그레이드 $\tilde{f}$의 회전집합 $\rho(\tilde{f})$를 분석한다.
• 그들은 회전집합을 반복된 이동 벡터의 평균값의 폐쇄의 교차로 특성화한다: $\rho(\tilde{f}) = \bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{n\geq i} \left\{ \frac{\tilde{f}^n(\tilde{x}) - \tilde{x}}{n} \right\}}$.
• 증명은 위상적 전이성과 기약성을 가정하여, 회전집합이 선분이나 점이 되게 만들 수 있는 불변집합을 배제하기 위한 데에 기반한다.
• 그들은 Franks와 Misiurewicz의 결과를 적용하여, 회전집합 내부의 유리점들이 주기점에 의해 실현됨을 이용한다.
• 반례를 구성하여, 이 역이 성립하기 위해 위상적 전이성과 기약성이 필수적임을 보여준다.
• 블로우업 기법과 유동의 시간 변화를 적용하여, 조건이 위반되었을 경우 양의 엔트로피를 가진다 해도 회전집합의 내부가 비어 있는 예를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 항등사상과 동치인 2-토러스 위의 $C^{1+\alpha}$ 미분구상에서 양의 위상적 엔트로피는 회전집합의 내부가 비어 있지 않음을 의미하는가?
• RQ2 양의 엔트로피가 회전집합의 내부가 비어 있지 않게 하기 위해 필요한 위상적 또는 동역학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 원래 정리에서의 가정보다 더 약한 조건 하에서 Llibre와 MacKay의 결과의 역을 확립할 수 있는가?
• RQ4 특히 필수적이거나 비자명하게 삽입된 원환선과 같은 불변집합은 회전집합의 기하학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기약성은 양의 엔트로피가 존재함에도 불구하고 회전집합이 선분이나 점이 되지 않도록 방지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 항등사상과 동치인 2-토러스 위의 $C^{1+\alpha}$ 미분구상이 위상적 전이성과 기약성을 만족한다면, 엔트로피가 양이더라도 회전집합의 내부가 비어 있지 않다.
• 이 결과는 Llibre와 MacKay의 1991년 정리의 역을 제공한다. 이 정리는 회전집합의 내부가 비어 있지 않으면 양의 위상적 엔트로피가 유도됨을 보여준 바 있다.
• 반례는 위상적 전이성과 기약성이 필수적임을 입증한다: 이 조건이 없으면, 양의 엔트로피가 회전집합의 내부가 비어 있지 않음을 보장하지 못한다.
• 영함위치가 아닌 불변원이 존재하면, 양의 엔트로피가 존재하더라도 회전집합의 내부가 비어 있을 수 있다.
• 고정점이나 주기점의 블로우업 구조를 통해, 이러한 수정이 회전집합을 유지함을 보여주며, 일부 양의 엔트로피를 갖는 사상이 내부가 비어 있는 회전집합을 가지는 이유를 설명한다.
• 논문은 일반적으로 회전집합이 동치변환 불변이 아니라는 것을 확인하지만, 내부가 비어 있지 않은 회전집합을 갖는 성질은 동치 수반 동치변환 하에서도 유지됨을 보여준다.