[논문 리뷰] Sample path large deviations for a class of Markov chains related to disordered mean field models

Anton Bovier, Véronique Gayrard|ArXiv.org|1999. 05. 05.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계 근처를 제외하고 위치와 시간에 대해 부드럽게 의존하는 전이 확률을 갖는 격자 위의 이산시간 마르코프 체인의 클래스에 대해 스케일링 파arameter $\varepsilon$를 갖는 표본 경로 대규변수 원리( large deviation principle)를 수립한다. 비용 함수는 시간에 따라 변하는 라그랑지안에서 유도된 작용 함수수형으로 식별되며, 정적 불순물이 있는 평균장 모델에 대한 엄밀한 대규변수 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We prove a large deviation principle on path space for a class of discrete time Markov processes whose state space is the intersection of a regular domain $Ł\subset \R^d$ with some lattice of spacing $\e$. Transitions from $x$ to $y$ are allowed if $\e^{-1}(x-y)\in \D$ for some fixed set of vectors $\D$. The transition probabilities $p_\e(t,x,y)$, which themselves depend on $\e$, are allowed to depend on the starting point $x$ and the time $t$ in a sufficiently regular way, except near the boundaries, where some singular behaviour is allowed. The rate function is identified as an action functional which is given as the integral of a Lagrange function. %of time dependent relativistic classical mechanics. Markov processes of this type arise in the study of mean field dynamics of disordered mean field models.

연구 동기 및 목표

• 작업 간격이 $\varepsilon$인 격자 위의 마르코프 체인에 대해 대규변수 원리를 개발함으로써, 불순물 평균장 시스템을 모델링한다.
• 이러한 시스템에서 희귀 경로 사건의 지수적 감쇠 속도를 특성화한다.
• 비용 함수가 시간에 따라 변하는 라그랑지안에서 유도된 작용 함수로 식별됨을 밝힌다.
• 경계 근처에서 통제 가능한 특이성을 갖는 시간 및 공간에 따라 변하는 전이 확률을 允許한다.
• 불순물 평균장 스핀 시스템에서의 메타안정성 및 경로 기반 행동을 연구하기 위한 엄밀한 확률적 기초를 제공한다.

제안 방법

• $\Lambda \subset \mathbb{R}^d$가 정칙 도메인일 때, $\varepsilon \mathbb{Z}^d \cap \Lambda$ 위의 마르코프 과정을 고려한다.
• 고정된 유한 집합 $\Delta \subset \mathbb{Z}^d$ 에 대해, $\varepsilon^{-1}(x - y) \in \Delta$ 인 경우에만 $x$ 에서 $y$ 로의 전이를 정의한다.
• 경계 근처를 제외하고 시간 $t$ 와 위치 $x$ 에 대해 정규적인 방식으로 의존하는 전이 확률 $p_\varepsilon(t,x,y)$ 를 허용한다.
• 경로공간에서의 대규변수 원리를 입증하기 위해 지수적 콤팩트니스와 변분 공식을 통한 비용 함수 식별을 통해 대규변수 원리를 확립한다.
• 비용 함수를 시간에 따라 변하는 라그랑지안의 적분으로 식별하며, 이는 시간에 따라 변하는 상대론적 고전역학의 작용에 해당한다.
• 약한 수렴 방법과 콤팩트니스 추론을 사용하여 전이 커널에 대한 미약한 정규성 조건 하에서 대규변수 원리를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 위의 불순물이 있는 마르코프 체인의 표본 경로에 대한 대규변수 비용 함수는 무엇인가? 이는 공간-시간 비균일성을 갖는다.
• RQ2 평균장 역학의 맥락에서 비용 함수는 시간에 따라 변하는 라그랑지안과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 경계 근처에서 전이 확률에 특이성이 존재함에도 불구하고 이러한 체인에 대해 대규변수 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ4 $\varepsilon \to 0$ 일 때 경로 확률의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ5 이산 시간 경로 확률의 극한으로서 작용 함수는 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• 경로공간에서의 대규변수 원리가 성립하며, 이는 시간에 따라 변하는 라그랑지안의 적분으로 주어진 비용 함수를 갖는다.
• 비용 함수는 시간에 따라 변하는 상대론적 고전역학의 해밀토니안에 해당하는 작용 함수로 식별된다.
• 전이 확률에 대한 미약한 정규성 조건 하에서 이산 시간 마르코프 과정이 연속 작용 함수로 수렴함을 입증한다.
• 경로 측도의 가족에 대한 지수적 콤팩트니스가 증명되어 대규변수 원리의 존재를 보장한다.
• 경계 근처에서 전이 확률이 특이성을 보일 수 있지만, 통제 가능한 조건 하에서는 이 방법이 적용 가능하다.
• 이 프레임워크는 불순물 평균장 스핀 시스템에서의 희귀 사건, 예를 들어 메타안정 전이의 엄밀한 경로 기반 기술을 제공한다.