[논문 리뷰] Sample path properties of multivariate operator-self-similar stable random fields

Ercan Sönmez|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 조화 표현을 통해 다변량 연산자-자기유사 $\alpha$-안정 랜덤 필드의 표본 경로 정규성과 하우스도르프 차원을 규명한다. [8]의 결과를 활용하여 연속성의 모듈러스에 대한 상한을 도출함으로써, [25]에서 제기된 표본 경로의 차원에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We investigate the sample path regularity of multivariate operator-self-similar {\alpha}-stable random fields with values in R m given by a harmonizable representation. Such fields were introduced in [25] as a generalization of both operator-self-similar stochastic processes and operator scaling random fields and satisfy the scaling property X(c E t) =c D X(t), where E is a real d times d matrix and D is a real m times m matrix. By using results in [8] we give an upper bound on the modulus of continuity. Based on this we determine the Hausdorff dimension of the sample paths. In particular, this solves an open problem in [25].

연구 동기 및 목표

• 값이 $\mathbb{R}^m$ 에 속하는 다변량 연산자-자기유사 $\alpha$-안정 랜덤 필드의 표본 경로 정규성 분석
• 다음과 같은 열린 문제 해결: [25]에서 제기된 다변량 연산자-자기유사 $\alpha$-안정 필드에서 표본 경로의 하우스도르프 차원에 관하여
• 기존 이론적 결과를 활용하여 이러한 랜덤 필드의 연속성의 모듈러스에 대한 상한 설정

제안 방법

• 다변량 연산자-자기유사 $\alpha$-안정 랜덤 필드를 정의하기 위해 조화 표현을 활용한다.
• [8]의 결과를 적용하여 표본 경로의 연속성의 모듈러스에 대한 상한을 유도한다.
• 유도된 연속성 상한을 활용하여 표본 경로의 분수기하학적 성질을 분석한다.
• 연속성의 모듈러스 추정을 사용하여 표본 경로의 하우스도르프 차원을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 값이 $\mathbb{R}^m$ 에 속하는 다변량 연산자-자기유사 $\alpha$-안정 랜덤 필드의 표본 경로 정규성은 어떠한가?
• RQ2 스케일링 성질 $X(c^E t) = c^D X(t)$ 는 이러한 필드의 경로 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이러한 필드의 표본 경로의 하우스도르프 차원은 무엇이며, 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 연속성 상한을 사용하여 [25]에서 제기된 경로 차원에 관한 열린 문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• [8]의 이론적 결과를 활용하여 표본 경로의 연속성의 모듈러스에 대한 상한을 확립하였다.
• 유도된 연속성 상한을 기반으로 표본 경로의 하우스도르프 차원을 계산하였다.
• 다변량 연산자-자기유사 $\alpha$-안정 필드에서 표본 경로의 차원에 관한 [25]의 열린 문제를 해결하였다.
• 경로 정규성과 기하학적 차원은 스케일링 행렬 $E$ 와 $D$ 에 의해 결정됨을 확인하였다.