[논문 리뷰] Sampled-Data Boundary Feedback Control of 1-D Hyperbolic PDEs with Non-Local Terms

Iasson Karafyllis, Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 28.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비국소 항을 포함한 1차원 선형 초구형 PDE에 대해 ZOH(제로 오더 홀딩)를 이용한 샘플드 데이터 경계 피드백 제어 법칙을 제안한다. 연속 시간 백스텝핑 설계된 경계 피드백이 충분히 작은 샘플링 주기로 ZOH를 통해 구현될 경우, 초등적 안정성(초등적 안정성)이 초등적 노름에서 보장되며, 샘플링 간격이 작아질수록 수렴 속도가 빨라지고, 편미분 방정식 시스템과는 달리 샘플링 지터에 대한 강건성까지 확보됨을 입증한다.

ABSTRACT

The paper provides results for the application of boundary feedback control with Zero-Order-Hold (ZOH) to 1-D linear, first-order, hyperbolic systems with non-local terms on bounded domains. It is shown that the emulation design based on the recently proposed continuous-time, boundary feedback, designed by means of backstepping, guarantees closed-loop exponential stability, provided that the sampling period is sufficiently small. It is also shown that, contrary to the parabolic case, a smaller sampling period implies a faster convergence rate with no upper bound for the achieved convergence rate. The obtained results provide stability estimates for the sup-norm of the state and robustness with respect to perturbations of the sampling schedule is guaranteed.

연구 동기 및 목표

• 비국소 항을 포함한 1차원 초구형 PDE에 대해 연속 시간 백스텝핑 경계 제어 설계를 샘플드 데이터 구현으로 확장하는 것.
• 특히 초등적 노름 안정성에 중점을 두고, 제로 오더 홀딩(ZOH) 샘플링 하에서 닫힌 루프 시스템의 안정성 분석.
• 샘플링 주기가 수렴 속도에 미치는 영향을 분석하고, 편미분 방정식 시스템과의 대비를 다루는 것.
• 샘플링 일정의 변동에 대한 제어 법칙의 강건성 확보.
• 샘플드 데이터 피드백 하에서 상태의 초등적 노름에 대한 명시적 안정성 추정 제공.

제안 방법

• 비국소 항을 포함한 1차원 초구형 PDE에 대해 배경스텝핑 기반으로 유도된 연속 시간 경계 피드백 제어 법칙을 적응.
• 제로 오더 홀딩(ZOH)을 사용하여 제어 입력을 샘플링 순간 사이에서 일정하게 유지하는 방식으로 제어 법칙을 구현.
• 리아푸노프 기반 기법을 사용하여 닫힌 루프 시스템을 분석하고, 초등적 노름에서의 안정성 추정을 도출.
• 충분히 작은 샘플링 주기 하에서 초등적 안정성이 유지됨을 입증.
• 샘플링 주기가 작아질수록 수렴 속도 추정이 향상됨을 도출하며, 달성 가능한 속도에 상한선이 없음.
• 불규칙한 샘플링 간격 하에서도 안정성 분석을 통해 샘플링 일정의 변동에 대한 강건성을 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 항을 포함한 1차원 초구형 PDE에 대해 연속 시간 백스텝핑 경계 피드백 법칙이 ZOH 기반 샘플드 데이터 제어로 성공적으로 모의 구현 가능한가?
• RQ2 이러한 시스템에서 초등적 노름에서 초등적 안정성을 유지하기 위해 필요한 최소 샘플링 주기는 얼마인가?
• RQ3 샘플드 데이터 시스템의 수렴 속도는 샘플링 주기에 따라 어떻게 달라지며, 특히 편미분 방정식 시스템과의 비교에서 어떤가?
• RQ4 예를 들어 지터나 불규칙한 샘플링 간격이 발생할 경우, 제어 법칙이 샘플링 일정의 변동에 강건한가?
• RQ5 샘플드 데이터 닫힌 루프 시스템에 대해 상태의 초등적 노름에 대한 명시적 안정성 추정을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 충분히 작은 샘플링 주기일 경우, 샘플드 데이터 닫힌 루프 시스템에서 초등적 노름에서의 초등적 안정성이 보장된다.
• 샘플링 주기가 작아질수록 수렴 속도가 단조적으로 증가하며, 달성 가능한 속도에 상한선이 없음(편미분 방정식 시스템과는 다름).
• 샘플링 일정의 변동에 대한 강건성이 입증되어, 불규칙하거나 지터가 있는 샘플링 하에서도 시스템이 안정함이 확인됨.
• 본 논문은 상태의 초등적 노름에 대한 명시적 안정성 추정을 제공하여, 샘플드 데이터 제어 법칙 하에서의 감쇠 속도를 정량화함.
• ZOH 기반 백스텝핑 설계된 경계 피드백의 모의 구현이 안정성을 유지하고, 샘플링 주파수가 높아질수록 성능이 향상됨을 확인함.
• 분석 결과, PDE에 비국소 항이 존재하더라도 샘플링 주기가 충분히 작다면 안정화가 가능함을 확인함.