[논문 리뷰] Scattering by curvatures, radiationless sources, transmission eigenfunctions and inverse scattering problems

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 04.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 68인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 파동 산란에서 투명성과 경계 곡률 사이의 기하학적 원리를 설정한다: 반사파가 발생하지 않는 소스 또는 비방사파는 산란체 경계의 고곡률 점에서 존재할 수 없으며, 그 강도가 매우 작아질 경우에만 가능하다. 주요 기여는 비방사 소스가 고곡률 영역에서 빠르게 감쇠되어야 한다는 정량적 경계를 제시하는 것으로, 이는 역산산란 문제에 대한 새로운 유일성 결과와 전파 특성함수의 기하학적 특성 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider several intriguingly connected topics in the theory of wave propagation: geometrical characterizations of radiationless sources, non-radiating incident waves, interior transmission eigenfunctions, and their applications to inverse scattering. Our major novel discovery is a localization and geometrization property. We first show that a scatterer, which might be an active source or an inhomogeneous index of refraction, cannot be completely invisible if its support is small compared to the wavelength and scattering intensity. Next, we localize and geometrize the "smallness" results to the case where there is a high-curvature point on the boundary of the scatterer's support. We derive explicit bounds between the intensity of an invisible scatterer and its diameter or its curvature at the aforementioned point. These results can be used to characterize radiationless sources or non-radiating waves near high-curvature points. As significant applications we derive new intrinsic geometric properties of interior transmission eigenfunctions near high-curvature points. This is of independent interest in spectral theory. We further establish unique determination results for the single-wave Schiffer's problem in certain scenarios of practical interest, such as collections of well-separated small scatterers. These are the first results for Schiffer's problem with generic smooth scatterers.

연구 동기 및 목표

• 파동 산란에서 비방사 소스 및 비방사 입사파의 기하학적 제약 조건을 규명하는 것.
• 산란체의 지지부의 경계에서 고곡률이 존재할 경우, 강도가 극히 작아야지 투명성이 가능하다는 것을 입증하는 것.
• 고곡률 점 근처에서 내부 전파 특성함수의 새로운 내재 기하학적 성질을 도출하는 것.
• 단일 원거리 장 데이터를 사용하여 역형상 문제의 유일한 결정을 증명하는 것.
• 역매질 산란 문제를 역소스 문제 프레임워크로 환원하여 이러한 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 전체 크기 대신 고곡률 경계 점에 초점을 맞춘 소형성 기반 투명성 정리의 국소화 및 기하학화된 버전을 개발한다.
• 곡률과 경계의 정규성 정도를 정량화하기 위해 매개변수 (L, M, μ, K)를 가진 '허용 가능한 K-곡률 점'의 개념을 도입한다.
• 고곡률 점 근처의 국소 영역 Ωb,h 에서 Rellich 보조정리와 에너지 추정을 적용하여 파동장의 행동을 통제한다.
• 가중치가 부여된 Carleman 추정과 Hölder 노름에 대한 사전 경계를 사용하여 고곡률 점에서 소스 강도의 정량적 감쇠 추정을 유도한다.
• 소스 항 φ = −k²Vu 를 사용하여 역매질 산란 문제를 역소스 문제 프레임워크로 환원한다.
• 원거리 장의 등식에 기반한 모순 증명을 통해, 특정 조건 하에서 두 산란체의 차이가 허용 가능한 K-곡률 점을 포함할 수 없다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소스의 지지부 경계의 곡률로 그 투명성이 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 비방사 소스의 강도와 그 경계에서의 곡률 사이의 정량적 관계는 무엇인가?
• RQ3 고곡률 점은 내부 전파 특성함수의 행동을 어떻게 제약하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 단일 원거리 장이 산란체의 형상을 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ5 반사율 계수에 관계없이 원거리 장 데이터만으로도 역매질 산란 문제를 유일하게 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 비방사 소스는 K가 곡률을 측정하는 값일 때, K⁻min(α,μ)/2 (ln K)^(n+3)/2 이상의 속도로 강도가 감쇠되어야만 고곡률 경계점에서 존재할 수 있다.
• 경계점에서 강도가 0이 아닌 비영인 소스가 고곡률을 가지면, 나머지 소스의 구조와는 무관하게 반드시 방사되어야 한다.
• 내부 전파 특성함수는 고곡률 경계점 근처에서 빠르게 0이 되어야 하며, 이 감쇠 속도는 곡률과 정규성 매개변수에 따라 달라진다.
• K가 크고 다른 산란체까지의 거리가 유계일 경우, 동일한 원거리 장을 생성하는 두 산란체는 허용 가능한 K-곡률 점을 포함하는 영역에서 다를 수 없다.
• 잘 분리된 소형 산란체에 대해서는, 단일 원거리 장이 고곡률 특징의 위치를 O(K⁻¹) 정확도로 유일하게 결정할 수 있다.
• 역소스 문제의 해가 유일하게 존재한다면, 소스 항 φ = −k²Vu 를 사용한 환원을 통해 역매질 산란 문제도 단일 원거리 장 데이터로 유일하게 해결할 수 있다.