[논문 리뷰] Schémas de Hilbert invariants et théorie classique des invariants

Ronan Terpereau|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 41인용 수 4

한 줄 요약

이 학위논문은 고전적 불변론 이론과의 연관성을 중심으로, GL(V), O(V), SO(V), Sp(V)의 작용에 의한 표현 공간과 그들의 nullcone에 대한 불변 Hilbert 스킴을 연구한다. 기하학적 불변론 이론과 G--equivariant 사상들을 사용하여, 다양한 경우, 특히 저차원 표현에서 nullcone과 Hilbert 스킴의 성분을 분류하고, 정규성, Cohen-Macaulay 성질, 특이점 집합을 증명한다.

ABSTRACT

Let W be an affine variety equipped with an action of a reductive group G. The invariant Hilbert scheme is a moduli space which classifies the G-stable closed subschemes of W such that the affine algebra is the direct sum of simple G-modules with previously fixed finite multiplicities. In this thesis, we first study the invariant Hilbert scheme, denoted H. It parametrizes the GL(V)-stable closed subschemes Z of W=n1 V \oplus n2 V^* such that k[Z] is isomorphic to the regular representation of GL(V) as GL(V)-module. If dim(V)<3, we show that H is a smooth variety, so that the Hilbert-Chow morphism γ: H -> W//G is a resolution of singularities of the quotient W//G. However, if dim(V)=3, we show that H is singular. When dim(V)<3, we describe H by equations and also as the total space of a homogeneous vector bundle over the product of two Grassmannians. Then we consider the symplectic setting by letting n1=n2 and replacing W by the zero fiber of the moment map μ: W -> End(V). We study the invariant Hilbert scheme H' which parametrizes the subschemes included in μ^{-1}(0). We show that H' is always reducible, but that its main component Hp' is smooth if dim(V)<3. In this case, the Hilbert-Chow morphism is a resolution of singularities (sometimes a symplectic one) of the quotient μ^{-1}(0)//G. When dim(V)=3, we describe Hp' as the total space of a homogeneous vector bundle over a flag variety. Finally, we get similar results when we replace GL(V) by some other classical group (SL(V), SO(V), O(V), Sp(V)) acting first on W=nV, then on the zero fiber of the moment map.

연구 동기 및 목표

• 고전적 군의 유한차원 표현과 관련된 불변 Hilbert 스킴의 구조를 연구하기 위해.
• GL(V), O(V), SO(V), Sp(V)에 대한 표현 공간 위의 군 작용에 대한 nullcone를 분석하기 위해.
• nullcone 및 관련 스킴의 기하적 성질(정규성, Cohen-Macaulay 성질)과 기약 성분, 특이점 집합을 규명하기 위해.
• nullcone의 기하학적 성질과 고전적 불변론 사이의 연관성을 규명하고, 특히 저차원의 경우에 중점을 두기 위해.
• W/G의 특이점들을 해소하는 Hilbert 스킴의 행동을 조사하기 위해.

제안 방법

• 불변론 이론과 Borel 부분군의 작용을 이용하여 Hilbert 스킴에서 Grassmannian으로의 G--equivariant 사상을 구성하기 위해.
• 특히 SL(V) 및 GL(V)의 경우에서 Hilbert 스킴의 연구를 단순화하기 위해 축소 원리를 적용하기 위해.
• 특히 군 작용 하에서 μ⁻¹(0)의 경우에 대해 심플렉틱 작용의 막대(map)와 몫 사상의 맥락을 분석하기 위해.
• 저차원의 경우(dim V = 2, 3, 4)에서 명시적인 행렬 기술과 질량 조건을 사용하여 nullcone 성분을 정의하고 연구하기 위해.
• 이deals, 근기, 그리고 주요 분해와 같은 대수적 도구를 사용하여 nullcone의 축약 구조와 기약성을 규명하기 위해.
• 섬함수의 분해와 교차 이론과 같은 기하 기법을 사용하여 특이점 집합과 여수를 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(V), O(V), SO(V), Sp(V)의 작용에 의한 V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ 또는 μ⁻¹(0) 위에서의 nullcone Z₀의 기약 성분은 무엇인가?
• RQ2 nullcone와 Hilbert 스킴의 특이점 집합은 어떻게 행동하며, 각 경우에서의 여수는 얼마인가?
• RQ3 Hilbert 스킴 또는 nullcone가 정규성, Cohen-Macaulay 성질, 또는 축약 구조를 가지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 W/G의 특이점들을 해소하는 불변 Hilbert 스킴 Hilbᴳ(W)의 구조는 어떠한가?
• RQ5 nullcone의 성분들은 어떻게 서로 겹치며, 그 교차의 차원과 특이점 유형은 무엇인가?

주요 결과

• dim(V) = 2 이고 GL(V)가 V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ 위에서 작용할 경우, nullcone Z₀는 두 개의 기약 성분을 가지며, 그 교차는 원점에서만 특이점이 있는 3차원의 콘이다.
• dim(V) = 3 이고 GL(V)가 V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ 위에서 작용할 경우, nullcone Z₀는 차원 9인 여덟 개의 기약 성분의 합집합이며, 모두 정규성과 Cohen-Macaulay 성질을 갖는다.
• O(V)와 SO(V)가 dim(V) = 2 이며 V⊕n′ 위에서 작용할 경우, nullcone Z₀는 비축약적이며, 비축약 아이디얼로 정의된 두 개의 '두꺼운 직선'의 합집합이다.
• dim(V) = 4 이고 Sp(V)가 V⊕n′ 위에서 작용할 경우, 상황 5에서 nullcone Z는 정규성, Cohen-Macaulay 성질을 갖는 기약 대상이며, 특이점 집합의 여수는 3이다.
• nullcone Z₀의 특이점 집합은 그 기약 성분 간의 두 개씩의 교차의 합집합이며, 대부분의 연구된 경우에서 Z₀ 내에서 여수가 1이다.
• dim(V) = 3 이고 상황 3 및 4일 경우, Z_i는 기약이지만 축약적이지 않으며, 축약 구조는 정규성과 Cohen-Macaulay 성질을 가지며, 원점에서만 특이점이 있다.