[논문 리뷰] SDEs with critical time dependent drifts: strong solutions

Michael Röckner, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 10.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 48인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 임계 리만 공간에 속하는 시간에 따라 변하는 드리프트 계수를 가진 비정상적인 확률미분방정식(SDE)의 유일한 강한 해 존재성을 확립하여 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다. 위너-소볼레프 공간에서의 콤팩트성 기준을 사용하여 레이즈엔스카야-프로디-세린 조건을 만족할 경우 해의 존재성, 유일성 및 정규성을 증명한다. 이는 확률적 나비에-스토크스 시스템과 말리아빈 미적분학에 응용된다.

ABSTRACT

Based on a compactness criterion for random fields in Wiener-Sobolev spaces, in this paper, we prove the unique strong solvability of time-inhomogeneous stochastic differential equations with drift coefficients in critical Lebesgue spaces, which gives an affirmative answer to a longstanding open problem. As an application, we also prove a regularity criterion for solutions of a stochastic system proposed by Constantin and Iyer (Comm. Pure. Appl. Math. 61(3): 330-345, 2008), which is closely related to the Navier-Stokes equations.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 드리프트 계수를 가진 SDE의 임계 리만 공간에서의 유일한 강한 해 존재성 문제를 해결하는 것.
• 레이즈엔스카야-프로디-세린 조건 하에서 관련 확률적 흐름의 정규성 성질을 확립하는 것.
• 나비에-스토크스 방정식과 관련된 확률적 시스템의 해에 대한 정규성 기준을 제공하는 것.
• 특이 드리프트를 가진 SDE에 대해 말리아빈 미적분학과 위너 카오스 분해의 적용 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• 특이 드리프트를 다루기 위해 위너-소볼레프 공간에서의 랜덤 필드에 대한 새로운 콤팩트성 기준을 개발한다.
• 레이즈엔스카야-프로디-세린 조건을 적용한다: $ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $, $ p_1, q_1 \in (2,\infty) $, 이는 임계 적분 가능성을 보장한다.
• 확률적 흐름 추정과 흐름의 기울기의 모멘트 바OUNDS를 사용하여 약한 미분 가능성 증명한다.
• 말리아빈 미적분학과 위너 카오스 분해를 사용하여 해 흐름의 고차 미분계수를 제어한다.
• 그론발라 타입 부등식을 적용하여 시간과 공간에서의 흐름의 허더 연속성을 제어한다.
• 포커-플랑크-코모고로프 접근법을 통해 SDE 해와 코모고로프 방정식 사이의 연결 고리를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SDE $ X_{s,t}^x = x + \int_s^t b(r,X_{s,r}^x)\,dr + W_t - W_s $ 가 $ b \in \mathbb{L}^{p_1}_{q_1}(T) $ 이고 $ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $ 를 만족할 때 유일한 강한 해를 가지는가?
• RQ2 임계 드리프트 적분 가능성 조건 하에서 확률적 흐름 $ \{X_{s,t}^x\} $ 가 약한 미분 가능성을 보일 수 있는가?
• RQ3 공간 및 시간 허더 연속성 측면에서 흐름에 대한 정규성 추정치는 무엇인가?
• RQ4 나비에-스토크스 방정식과 관련된 확률적 시스템의 해가 임계 드리프트 조건 하에서 정규성 기준을 만족하는가?
• RQ5 최종점 경우 $ p_1 = d, q_1 = \infty $ 는 추가적인 발산-free 또는 노름이 작은 가정 하에 강한 해로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• SDE는 임계 레이즈엔스카야-프로디-세린 조건 하에서 유일한 강한 해를 가진다: $ b \in \mathbb{L}^{p_1}_{q_1}(T) $, $ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $, $ p_1, q_1 \in (2,\infty) $.
• 해는 추정치 $ \sup_x \mathbb{E}\left(\int_s^T f(t,X_{s,t}^x)\,dt\right) \leq C\|f\|_{\widetilde{\mathbb{L}}^p_q(s,T)} $ 를 만족한다. 여기서 $ \frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2 $.
• 랜덤 필드 $ \{X_{s,t}^x\} $ 는 약한 미분 가능성을 갖는 확률적 흐름을 이룬다. $ \sup_{s,t} \int_{\mathbb{R}^d} \mathbb{E}|\nabla X_{s,t}^x - I|^r \,dx < \infty $, $ r \in [2,\infty) $.
• 흐름은 공간과 시간에서 허더 연속성을 만족한다: $ \mathbb{E}|X_{s_1,t_1}^{x_1} - X_{s_2,t_2}^{x_2}|^r \leq C(|x_1 - x_2|^{r-d} + |s_1 - s_2|^{\beta(r-d)} + |t_1 - t_2|^{\beta r}) $, $ r > d $, $ \beta \in (0,\frac{1}{2}) $.
• 나비에-스토크스 방정식과 관련된 확률적 시스템의 해는 동일한 드리프트 조건 하에서 정규성 기준을 만족한다.
• 흐름의 고차 미분계수는 모멘트 바OUNDS를 만족한다: $ \sup_x \mathbb{E}\sup_{s \in [t,0]} |\nabla^2 X_{t,s}^x|^r < \infty $, $ r \geq 1 $ 전부에 대해.