[논문 리뷰] Search of clustered marked states with lackadaisical quantum walks

Amit Saha, Ritajit Majumdar외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ 격자에서 $k$가 홀수일 때, 군집된 마킹된 상태를 탐색하기 위해 최적화된 자가루프 가중치 $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$를 가진 무심한 양자 산책을 제안한다. 이 방법은 표준 양자 산책에 비해 성공 확률을 약 0.2 증가시키고, 필요한 단계 수를 줄여 한 번의 양자 산책 실행 후 고전적 탐색을 통해 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 시간에 전체 클러스터를 효율적으로 발견할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Nature of quantum walk in presence of multiple marked state has been studied by Nahimovs and Rivosh \cite{10.1007/978-3-662-49192-8_31}. They have shown that if the marked states are arranged in a $\sqrt{k} imes \sqrt{k}$ cluster in a $\sqrt{N} imes \sqrt{N}$ grid, then to find a single marked state among the multiple ones, quantum walk requires $Ω(\sqrt{N} - \sqrt{k})$ time. In this paper, we show that using lackadaisical quantum walk with the weight of the self-loop as $\frac{4}{N(k + \lfloor{\frac{\sqrt{k}}{2}} floor)}$, where $k$ is odd, the probability of finding a marked state increases by $\sim 0.2$. Furthermore, we show that instead of applying the quantum walk $\mathcal{O}(k)$ times to find all the marked states, classical search in the vicinity of the marked state found after the first implementation of the quantum walk can find all the marked states in $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ time on average.

연구 동기 및 목표

• 다양한 마킹된 상태가 $\sqrt{k} \times \sqrt{k}$ 블록에 군집되어 있을 때 2차원 격자에서의 양자 산책 탐색 성공 확률을 향상시키는 것.
• 간섭과 낮은 탐지 확률로 인해 성능이 저하되는 군집 탐색 상황에서 표준 양자 산책의 비효율성을 해결하는 것.
• 군집된 마킹된 상태에 대한 국소화와 탐지 확률을 향상시키기 위해 맞춤형 자가루프 가중치를 가진 무심한 양자 산책을 설계하는 것.
• 단일 양자 산책 실행과 마킹된 상태 주변의 고전적 탐색을 조합하여 $k$개의 모든 마킹된 상태를 찾는 데 필요한 총 시간 복잡도를 감소시키는 것.
• 탐지된 마킹된 상태의 국소적 이웃에서 고전적 탐색이 평균적으로 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 시간에 $k$개의 모든 상태를 찾을 수 있으며, 반복적인 양자 산책 적용보다 뛰어나다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 연구는 플립-플롭 이동 연산자와 그로버의 확산 코인 연산자를 사용한 $\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ 격자에서 이산 시간 양자 산책을 적용한다.
• 무심한 양자 산책이 도입되며, 각 격자 노드에 조절 가능한 가중치를 가진 자가루프가 있어 위치에 머무를 확률을 높인다.
• 자기루프 가중치는 $k$가 홀수일 때 분석적으로 $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$로 유도되며, 군집된 구성에서 탐지 확률을 최적화한다.
• 양자 산책은 마킹된 클러스터에 앰플리튜드가 집중될 때까지 단계를 거치며, 이후 측정을 수행한다.
• 한 마킹된 상태를 탐지한 후, 탐지된 상태의 국소적 이웃에서 고전적 탐색을 적용하여 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 시간에 모든 $k$개의 마킹된 상태를 확인한다.
• 모의 실험은 격자 크기($\sqrt{N} = 8$에서 $30$)를 다양하게 하고 $k=9$를 고정하여, 자가루프 유무에 따라 성공 확률과 단계 수를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 맞춤형 자가루프 가중치를 가진 무심한 양자 산책은 2차원 격자에서 군집된 구성에서 마킹된 상태를 탐지하는 데 성공 확률을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 최적화된 자가루프 가중치 $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$는 표준 양자 산책에 비해 높은 탐지 확률에 도달하기 위해 필요한 단계 수를 줄일 수 있는가?
• RQ3 단일 탐지된 마킹된 상태의 주변에서 고전적 탐색이 평균적으로 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 시간에 모든 $k$개의 군집된 마킹된 상태를 찾을 수 있는가?
• RQ4 단일 양자 산책 실행 후 고전적 국소 탐색을 수행하는 병합 접근법이 $k$개의 모든 마킹된 상태를 찾기 위해 $\mathcal{O}(k)$번의 양자 산책을 반복하는 것보다 더 효율한가?
• RQ5 제안된 자가루프 가중치를 사용할 경우 성공 확률 향상의 정량적 수치는 무엇이며, 다양한 격자 크기에서 일관되게 유지되는가?

주요 결과

• 제안된 자가루프 가중치 $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$는 표준 양자 산책에 비해 마킹된 상태 탐지 성공 확률을 약 0.2 증가시킨다.
• 최적화된 가중치를 가진 무심한 산책을 사용할 경우, 특히 $N$이 클수록 높은 탐지 확률에 도달하기 위해 필요한 단계 수가 감소한다.
• 탐지된 마킹된 상태의 국소적 이웃에서 고전적 탐색은 평균적으로 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 시간에 모든 $k$개의 마킹된 상태를 찾을 수 있으며, 반복적인 양자 산책 적용에 비해 뚜렷이 뛰어나다.
• 이 방법은 단일 양자 산책 실행과 효율적인 고전적 후처리를 통해 $k$개의 모든 마킹된 상태를 발견할 수 있게 하여, 총 시간 복잡도를 $\mathcal{O}(k)$에서 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$로 감소시킨다.
• 모의 실험 결과, $\sqrt{N}$ 값이 8에서 30까지의 모든 테스트된 경우에 최적화된 자가루프 가중치를 사용할 경우 성공 확률이 거의 1에 수렴함을 확인하였다.
• 무심한 산책의 이론적 이점은 실증적으로도 검증되었으며, $k=9$를 고정하고 다양한 격자 크기에서 일관된 향상이 관찰되었다.