[논문 리뷰] Second order optimality conditions for strong local minimizers via subgradient graphical derivative

Nguyễn Huy Chiêu, Le Van Hien외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 13.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비미분 가능 최적화에서 강한 국소 최소점에 대한 이阶 최적성 조건을 하향도 그래픽스 도함수를 이용해 수립하며, 특정 정규성 조건 하에서 이 도함수의 양의 정부호성은 강한 국소 최소점이 되기 위한 충분조건이자 필요조건임을 보여준다. 이는 $C^2$-cone 축약 가능 프로그램에서 로빈슨의 제약 조건 부문을 더 약한 메트릭 하향도 정규성 제약 조건 부문으로 대체함으로써 고전 결과를 확장하며, 이차 성장 조건과 하향도의 강한 메트릭 하향도 정규성 간의 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of second order optimality conditions for strong local minimizers in the frameworks of unconstrained and constrained optimization problems in finite dimensions via subgradient graphical derivative. We prove that the positive definiteness of the subgradient graphical derivative of an extended-real-valued lower semicontinuous proper function at a proximal stationary point is sufficient for the quadratic growth condition. It is also a necessary condition for the latter property when the function is either subdifferentially continuous, prox-regular, twice epi-differentiable or variationally convex. By applying our results to the $\mathcal{C}^2$-cone reducible constrained programs, we establish no-gap second order optimality conditions for (strong) local minimizers under the metric subregularity constraint qualification. These results extend the classical second order optimality conditions by surpassing the well-known Robinson's constraint qualification. Our approach also highlights the interconnection between the strong metric subregularity of subdifferential and quadratic growth condition in optimization problems.

연구 동기 및 목표

• 비미분 가능이고 제약 조건이 없는 최적화에서 하향도 그래픽스 도함수를 통해 강한 국소 최소점의 특성을 규명한다.
• 로빈슨의 제약 조건 부문보다 더 약한 조건 하에서 $C^2$-cone 축약 가능 프로그램에 대해 이격 없는 이阶 최적성 조건을 수립한다.
• 이중 구조를 활용해 이차 성장 조건과 하향도의 강한 메트릭 하향도 정규성 간의 관계를 연결한다.
• 그래픽스 도함수 기법을 활용해 볼록성 및 준대수기하학적 설정을 초월한 고전적 이阶 최적성 조건을 확장한다.

제안 방법

• 논문은 하향도 그래픽스 도함수를 강한 국소 최소점 분석을 위한 이중 구조로 활용한다.
• 하향도 그래픽스 도함수의 양의 정부호성이 프록시멀 정적점에서 이차 성장 조건을 유도함을 증명한다.
• 특정 함수 클래스에서 이차 성장과 하향도의 강한 메트릭 하향도 정규성 간의 등가성을 기반으로 하는 방법이다.
• 제약 조건이 있는 문제의 경우, 메트릭 하향도 정규성 제약 조건(MSCQ) 하에서 $C^2$-cone 축약 가능 프로그램에 적용된다.
• 변분해석 기법을 활용하여, 프록시멀 정규성, 하향도 연속성, 이중 에피미분 가능성 등의 도구를 사용한다.
• 핵심 결과는 그래픽스 도함수를 제한 하향도와 연결하고 최적화에서의 안정성 성질을 활용함으로써 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하향도 그래픽스 도함수는 비볼록, 비미분 가능 최적화에서 강한 국소 최소점의 특성 규명을 위한 이阶 구조로 활용될 수 있는가?
• RQ2 볼록성보다 더 약한 정규성 조건 하에서 하향도 그래픽스 도함수의 양의 정부호성이 이차 성장 조건에 대해 必要 및 充분 조건이 되는가?
• RQ3 메트릭 하향도 정규성 제약 조건(MSCQ)은 $C^2$-cone 축약 가능 프로그램에서 이격 없는 이阶 최적성 조건을 확립하는 데 충분한가?
• RQ4 비볼록 설정에서 하향도의 강한 메트릭 하향도 정규성은 이차 성장 조건과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 로빈슨의 제약 조건 부문을 대체하는 MSCQ 하에서 고전적 이阶 최적성 충분조건이 완전히 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 비제약 조건, 비미분 가능 최적화에서 프록시멀 정적점에서 하향도 그래픽스 도함수의 양의 정부호성은 이차 성장 조건을 충족하는 데 충분하다.
• 함수가 하향도 연속성, 프록시멀 정규성, 이중 에피미분 가능성 또는 변분학적 볼록성 조건을 만족할 경우, 이 조건은 이차 성장 조건에 대해 必要가 된다.
• $C^2$-cone 축약 가능 프로그램의 경우, 메트릭 하향도 정규성 제약 조건(MSCQ) 하에서 고전적 이阶 최적성 충분조건이 강한 국소 최소점의 완전한 특성화를 제공한다.
• MSCQ는 로빈슨의 제약 조건 부문(RCQ)보다 엄밀히 더 약한 조건이므로, 이阶 최적성 조건의 적용 범위를 넓힐 수 있다.
• 고려 중인 두 가지 광범위한 함수 클래스에서 하향도의 강한 메트릭 하향도 정규성은 이차 성장 조건과 등가이다.
• 이 결과는 더 강한 제약 조건 부문이 요구되었던 이전 결과를 초월하여 MSCQ 하에서 제약 조건이 있는 프로그램에서 강한 국소 최소점의 이격 없는 특성화를 제공한다.