[논문 리뷰] Second order parameter{uniform convergence for a flnite difierence method for a singularly perturbed linear reaction{difiusion system ⁄

Paramasivam Mathiyazhagan, Valarmathi Sigamani외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 05.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 서로 다른 작은 매개변수를 가진 특성화된 반응-확산 시스템에 대해 유한차분법을 쓰이면서 셰이신(Shishkin) 조각별 균일 메쉬를 사용한다. 수치해의 매개변수에 관계없이 2차 수준의 균일 수렴을 증명하여 모든 매개변수 값에서 강건한 정확도를 확보한다.

ABSTRACT

A singularly perturbed linear system of second order ordinary difierential equa- tions of reaction-difiusion type with given boundary conditions is considered. The leading term of each equation is multiplied by a small positive parameter. These singular per- turbation parameters are assumed to be distinct. The components of the solution exhibit overlapping layers. Shishkin piecewise{uniform meshes are introduced, which are used in conjunction with a classical flnite difierence discretisation, to construct a numerical method for solving this problem. It is proved that the numerical approximations obtained with this method are essentially second order convergent uniformly with respect to all of the param- eters. AMS subject classiflcations: 65L10, 65L12, 65L20, 65L70

연구 동기 및 목표

• 서로 다른 반응-확산 계면을 가진 두 개의 선형 2차 상미분방정식으로 이루어진 특성화된 연립방정식의 수치해를 구하는 것.
• 각 방정식에서 서로 다른 섭동 매개변수로 인해 발생하는 계면의 겹침 문제를 해결하는 것.
• 작은 매개변수에 관계없이 고차수 수렴을 유지하는 강건한 수치해법을 개발하는 것.
• 모든 섭동 매개변수에 대해 이산해의 균일 수렴을 증명하는 것.

제안 방법

• 경계계면을 해소하기 위해 셰이신 조각별 균일 메쉬에 고전적인 유한차분 스킴을 적용한다.
• 메쉬는 계면 영역에 점을 집중시키도록 계단형으로 조정되어 날카로운 계면을 정확히 해상화한다.
• 적합한 메쉬 위에서 표준 중앙차분을 사용하여 시스템을 이산화한다.
• 안정성 및 일致성 분석을 통해 수렴 성질을 확립한다.
• 이론적 분석을 통해 이 방법이 모든 섭동 매개변수에 대해 2차 수렴을 균일하게 달성함을 증명한다.
• 수렴 증명은 이산 최대원리와 특수 장벽 함수의 사용에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 유한차분법가 서로 다른 작은 매개변수를 가진 특성화된 반응-확산 시스템에서 2차 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 셰이신 메쉬의 사용이 시스템의 모든 매개변수 값에서 균일 수렴을 보장하는가?
• RQ3 겹치는 경계계면은 고전적인 유한차분 스킴의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 적합한 메쉬 위에서 표준 이산화를 사용하여 이러한 시스템에 대해 매개변수에 관계없는 수렴을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 셰이신 메쉬 위의 유한차분법은 이산 최대노름에서 2차 수렴을 달성한다.
• 수렴 속도는 모든 섭동 매개변수에 대해 균일하며, 이는 서로 다른 작은 매개변수를 포함한다.
• 섭동 매개변수가 크기 차이가 심할 경우에도 방법은 강건한 정확도를 유지한다.
• 이론적 분석을 통해 방법이 매개변수에 관계없이 균일 수렴함을 확인하였으며, 오차는 작은 매개변수에 독립적으로 유계이다.