[논문 리뷰] Selection of measure and a Large Deviation Principle for the general XY model

Artur O. Lopes, Jairo K. Mengue|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 열역학 체계론에서 일반적인 일차원 XY 모델에 대해 대수적 편차 원리(Large Deviation Principle, LDP)를 수립한다. $ c \to \infty $일 때, Ruelle 연산자에 의해 선택된 긴츠 미 measure $ \mu_c $가 헬더 연속 잠재력 $ f $에 대한 최대화 측도로 약한* 수렴함을 보인다. 주요 결과는 편차 함수가 $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $로 주어지며, 여기서 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $이고, $ V $는 캘리브레이션된 서브액션임을 규명한다. 유일한 최대화 측도가 존재할 경우를 가정한다.

ABSTRACT

We consider $(M,d)$ a connected and compact manifold and we denote by $X$ the Bernoulli space $M^{\mathbb{N}}$. The shift acting on $X$ is denoted by $σ$. We analyze the general XY model, as presented in a recent paper by A. T. Baraviera, L. M. Cioletti, A. O. Lopes, J. Mohr and R. R. Souza. Denote the Gibbs measure by $μ_{c}:=h_{c}ν_{c}$, where $h_{c}$ is the eigenfunction, and, $ν_{c}$ is the eigenmeasure of the Ruelle operator associated to $cf$. We are going to prove that any measure selected by $μ_{c}$, as $c o +\infty$, is a maximizing measure for $f$. We also show, when the maximizing probability measure is unique, that it is true a Large Deviation Principle, with the deviation function $R_{+}^{\infty}=\sum_{j=0}^\infty R_{+} (σ^f)$, where $R_{+}:= β(f) + V\circσ- V - f$, and, $V$ is any calibrated subaction.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 일차원 XY 모델에 대해 영온도 근처에서 대수적 편차 원리(Large Deviation Principle, LDP)를 수립하는 것.
• $ c \to \infty $일 때, 긴츠 미 measure $ \mu_c $의 점근적 행동을 기술하는 것. 이는 무한한 역온도에 해당한다.
• 캘리브레이션된 서브액션 $ V $와 함수 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $를 사용하여 LDP의 편차 함수를 규명하는 것.
• $ c \to \infty $일 때 $ \mu_c $의 약한* 수렴한 임의의 극한이 헬더 연속 잠재력 $ f $에 대한 최대화 측도임을 증명하는 것.
• 최대화 측도가 유일할 경우, 주어진 편차 함수를 가진 LDP가 성립함을 보이는 것.

제안 방법

• 고유함수 $ h_c $, 고유측도 $ \nu_c $, 긴츠 미 측도 $ \mu_c = h_c \nu_c $를 갖는 Ruelle 연산자 $ L_{cf} $의 사용.
• Ruelle 연산자 $ L_{cf} $에 대해 정규화된 함수 $ g_c = cf + \log h_c - \log(h_c \circ \sigma) - \log \beta_c $의 정의.
• 편차 함수 $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $의 도입. 여기서 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $이며, $ V $는 캘리브레이션된 서브액션이다.
• 이중 극한 접근법의 적용: $ \lim_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log \int_A e^{c R_-^k} \, dm $을 통해 대규모 편차 비율을 분석한다.
• empirical 측도 $ \nu_n $의 정의: $ \phi \mapsto \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \phi(\sigma^j(z)) $이며, $ R_-^\infty(z) > -\infty $일 경우 $ \mu_\infty $로의 약한* 수렴을 고려한다.
• 캘리브레이션된 서브액션과 헬더 연속성의 성질을 활용하여 $ R_- $의 변동을 제어하고, 로그 모멘트 생성 함수에 대한 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 XY 모델의 긴츠 미 측도 $ \mu_c $가 $ c \to \infty $일 때 최대화 측도로 수렴하는가?
• RQ2 XY 모델의 영온도 근처에서 LDP의 편차 함수의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 캘리브레이션된 서브액션 $ V $는 편차 함수 $ R_+^\infty $의 구조에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 주어진 편차 함수를 가진 LDP가 성립하는가?
• RQ5 반복된 Ruelle 연산자와 이동의 역상 구조를 통해 $ \mu_c $의 점근적 행동을 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• $ c \to \infty $일 때 $ \mu_c $의 부분수열의 임의의 약한* 극한은 잠재력 $ f $에 대한 최대화 측도이다.
• 최대화 측도 $ \mu_\infty $가 유일할 경우, 편차 함수 $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $를 가진 LDP가 성립한다. 여기서 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $이다.
• LDP는 이중 극한 접근법을 통해 확립된다: $ \lim_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log \int_A e^{c R_-^k} \, dm $로, 이는 하한 $ \sup_{z \in A} R_-^\infty(z) \geq \limsup_{k \to \infty} \sup_{z: \sigma^k(z) = y_0} R_-^k(z) $을 이끈다.
• 최대화 측도 $ \mu_\infty $의 지지집합은 $ R_-(y_n) = 0 $인 수열 $ \{y_n\} $의 집적점들에 포함되며, 이러한 수열이 $ \text{supp}(\mu_\infty) $의 점들로 집적됨을 보였다.
• 만약 $ R_-^\infty(z) > -\infty $이면, $ z $와 관련된 경험 측도 $ \nu_n $은 약한* 수렴하여 $ \mu_\infty $로 수렴한다.
• 결과 $ \liminf_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log (L_{g_c}^n \chi_A)(x) \geq \sup_{z \in A} R_-^\infty(z) = -\inf_{z \in A} R_+^\infty(z) $는 제안된 편차 함수를 가진 LDP가 성립함을 확인한다.