[논문 리뷰] Semi-closed form prices of barrier options in the Hull-White model

Andrey Itkin, Dmitry Muravey|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 헐-블랙 모델에서 쿠폰 없는 채권에 대한 다운-아웃 바리어 옵션에 대해 두 가지 새로운 방법인 열 잠재력(HP)과 일반화된 적분 변환(GIT)을 사용하여 반폐쇄형 해를 제시한다. 이 방법은 선형 1종 볼테라 적분방정식을 수치적으로 풀고, 옵션 가격을 일변수 적분으로 평가함으로써 유한 차분 방법보다 높은 계산 효율성과 정확도를 달성하며, 적분 기호 아래 미분을 통해 빠른 그리스 계산이 가능하다.

ABSTRACT

In this paper we derive semi-closed form prices of barrier (perhaps, time-dependent) options for the Hull-White model, ie., where the underlying follows a time-dependent OU process with a mean-reverting drift. Our approach is similar to that in (Carr and Itkin, 2020) where the method of generalized integral transform is applied to pricing barrier options in the time-dependent OU model, but extends it to an infinite domain (which is an unsolved problem yet). Alternatively, we use the method of heat potentials for solving the same problems. By semi-closed solution we mean that first, we need to solve numerically a linear Volterra equation of the first kind, and then the option price is represented as a one-dimensional integral. Our analysis shows that computationally our method is more efficient than the backward and even forward finite difference methods (if one uses them to solve those problems), while providing better accuracy and stability.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 바리어 옵션에 대해 헐-블랙 모델에서 반폐쇄형 가격을 유도하는 것, 여기서 기초 자산은 평균 회귀적인 옴스타인-울렌벡 과정을 따른다.
• 이전에 유한 영역에 국한되어 있던 기존 방법을 무한 영역으로 확장하여 문헌에서 해결되지 않은 문제를 해결하는 것.
• 특히 바리어 옵션을 포함한 고도로 복잡한 금리 파생상품에 대해 계산 효율적이고 매우 정확한 가격 설정 방법을 제공하는 것.
• 해석적 구조를 활용하여 옵션 그로스의 신속하고 정확한 계산을 가능하게 하는 것.
• 제안된 방법이 전통적인 유한 차분 스킴보다 속도와 안정성 측면에서 뛰어나다는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 열 잠재력(HP) 방법을 사용하여 무한 영역 $ r \in [y(t), \infty) $ 에서 옵션 가격을 기술하는 포아송형 편미분방정식을 해결한다. 여기서 $ y(t) $ 는 시간에 따라 변화하는 바리어이다.
• 일반화된 적분 변환(GIT) 방법을 무한 영역으로 확장하여 동일한 편미분방정식을 볼테라 적분방정식의 1종으로 변환하여 해결한다.
• 해결 과정은 선형 1종 볼테라 적분방정식을 수치적으로 풀고, 옵션 가격을 구하기 위해 일변수 적분을 평가하는 것으로 구성된다.
• 옵션 가격은 $ C = \int K(x) \, dx $ 로 표현되며, 이때 커널 $ K(x) $ 는 볼테라 방정식의 해와 특수함수에 의존한다.
• 고차수 적분 규칙을 사용하여 적분을 이산화함으로써 최소한의 계산 부담으로도 높은 정확도를 달성한다.
• 옵션 그로스는 적분 기호 아래에서의 미분을 통해 계산되며, 효율성을 위해 사전에 계산된 밀도 항을 재사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변화하는 바리어 옵션에 대해 헐-블랙 모델에서 무한 영역에서 반폐쇄형 해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 긴 잔존 기간과 높은 행사가에서 열 잠재력과 일반화된 적분 변환 방법의 정확도와 수렴 특성은 어떻게 비교되는가?
• RQ3 제안된 방법이 바리어 옵션 가격 설정에서 기존의 유한 차분 방법보다 더 높은 계산 효율성과 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ4 해석적 구조가 옵션 그로스의 빠르고 정확한 계산을 얼마나 잘 가능하게 하는가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 계수를 가진 열 방정식에 대해 HP 및 GIT 방법의 수렴 특성은 어떻게 다를까?

주요 결과

• 제안된 방법은 이전에 문헌에서 해결되지 않은 문제였던 헐-블랙 모델에서 무한 영역 $ r \in [y(t), \infty) $ 에서 바리어 옵션의 가격 문제를 해결한다.
• 특히 고행사가와 장기 잔존 기간에서 작은 옵션 가격을 다룰 때, 후진 및 전진 유한 차분 스킴보다 더 높은 정확도와 안정성을 확보한다.
• 고행사가와 장기 잔존 기간에서는 해의 첫 번째 적분이 무시 가능해지며, 이는 두 번째 적분을 포함한 순수하게 해석적인 표현으로 문제를 단순화시킨다.
• 옵션 그로스는 적분 기호 아래에서의 미분을 통해 가격 계산과 동시에 거의 추가 비용 없이 계산 가능하며, 사전에 계산된 밀도 항을 재사용한다.
• 계산 복잡도는 전진 유한 차분 방법과 유사하거나 더 낮으며, 정확도와 안정성 측면에서 크게 향상되었다.