[논문 리뷰] Semi-infinite cohomology and the linkage principle for $W$-algebras

Gurbir Dhillon|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 51인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순 리 대수와 주요_nilpotent 원소와 관련된 $\chi$-대수에 대해 유한한 무한 코homology 이론을 수립하고, 수준 $\kappa + \kappa_c$와 $-\kappa + \kappa_c$에서의 $\chi$-모듈의 카테고리 사이의 이중성(duaity)을 증명함으로써, $\chi$-대수에 대한 Feigin–Fuchs 이중성 추측을 검증하고, 연결 원리(linkage principle)를 통해 베르마 모듈 간의 모든 호모모르피즘을 규명한다.

ABSTRACT

Let $\mathfrak{g}$ be a simple Lie algebra, and let $W_κ$ be the affine ${W}$-algebra associated to a principal nilpotent element of $\mathfrak{g}$ and level $κ$. We explain a duality between the categories of smooth ${W}$ modules at levels $κ+ κ_c$ and $-κ+ κ_c$, where $κ_c$ is the critical level. Their pairing amounts to a construction of semi-infinite cohomology for the ${W}$-algebra. As an application, we determine all homomorphisms between the Verma modules for ${W}$, verifying a conjecture from the conformal field theory literature of de Vos--van Driel. Along the way, we determine the linkage principle for Category $\mathscr{O}$ of the ${W}$-algebra.

연구 동기 및 목표

• 반무한 코homology 이론의 일반 이론을 $\mathscr{W}$-대수에 대해 수립하는 것. 이는 conformal field theory와 $\mathscr{W}$-중력 이론에서 매우 중요하나 오랫동안 미해결 상태였음.
• Virasoro 대수에 대한 알려진 이중성의 일반화로서, $\mathscr{W}$-대수에 대한 Feigin–Fuchs 이중성 추측을 검증하는 것.
• 표현 이론에서 오랫동안 미해결된 문제였던, $\mathscr{W}$-대수에 대한 베르마 모듈 간의 호모모르피즘의 전체적인 구조를 규명하는 것.
• Category $\mathscr{O}$에 대한 $\mathscr{W}$-대수의 연결 원리를 수립하여 블록과 최고 가중치 모듈의 분류를 제공하는 것.

제안 방법

• 최근의 국소 양자 기하 Langlands 프로그램의 발전을 활용하여, $\mathscr{W}$-대수에 대한 반무한 코homology를 정의한다.
• 코homology 함자에 의해 유도되는, 수준 $\kappa + \kappa_c$와 $-\kappa + \kappa_c$에서의 부드러운 $\mathscr{W}$-모듈 카테고리 간의 이중성 쌍을 사용한다.
• 유도된 카테고리 프레임워크를 적용하여, $\operatorname{Verma}_{\kappa}^{op}$와 $\operatorname{Verma}_{-\kappa + 2\kappa_c}$ 사이의 표준적인 dg-동치를 연결한다.
• 베르마 모듈이 컴act 객체가 되는 재정규화된 유도된 카테고리 $\mathscr{W}_{\kappa}\text{-mod}$를 도입하여 호모로지 계산을 가능하게 한다.
• 유한 Weyl 군 $W_{\operatorname{f}}$와 포물형 부분군을 사용하여 블록을 매개변수화하고, 이중 코셋을 통해 베르마 모듈을 분류한다.
• 이중 코셋 $W_{\operatorname{f},\lambda} \backslash W_{\lambda} / W^{\circ}_{\lambda}$ 상의 Bruhat 순서를 사용하여, 베르마 모듈 간의 비자명한 호모모르피즘을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Virasoro 경우를 초월하여 $\mathscr{W}$-대수에 대해 반무한 코homology 이론이 존재하는가?
• RQ2 보완 중심 전하에서의 베르마 모듈에 대한 Feigin–Fuchs 이중성은 $\mathscr{W}$-대수로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 $\mathscr{W}$-대수에 대한 베르마 모듈 간의 호모모르피즘의 전체적인 구조는 무엇인가?
• RQ4 $\mathscr{W}$-대수의 Category $\mathscr{O}$에 대한 연결 원리는 무엇인가?

주요 결과

• 표준적인 dg-카테고리 동치 $\operatorname{Verma}_{\kappa}^{op} \simeq \operatorname{Verma}_{-\kappa + 2\kappa_c}$는 $\mathscr{W}$-대수에 대한 일반화된 Feigin–Fuchs 이중성을 수립한다.
• 베르마 모듈 간의 호모모르피즘 공간 $\operatorname{Hom}(M_v, M_w)$는 최대 한 개의 차원이며, $v \geqslant w$일 때만 비자명하다.
• $\mathscr{W}_{\kappa}$-대수에 대한 연결 원리가 수립되었으며, 이는 이중 코셋 $W_{\operatorname{f},\lambda} \backslash W_{\lambda} / W^{\circ}_{\lambda}$로 매개변수화된 블록을 포함한다.
• 공-베르마 모듈 $A_v$에 대해 $\operatorname{Hom}(A_v, A_w)$는 양수 수준일 때 $v \leqslant w$이고, 음수 수준일 때 $v \geqslant w$일 때만 비자명하다.
• Category $\mathscr{O}$에서의 이중성 $\mathbf{D}$는 베르마 모듈과 공-베르마 모듈 간의 이중성을 제공하며, 공-베르마 모듈의 호모모르피즘의 구조를 확인한다.
• 이 구성은 반무한 코homology 이론이 $\mathscr{W}$-대수에 대해 존재함을 확인하며, conformal field theory에서 오랫동안 남아있던 추측을 해결한다.