[논문 리뷰] Semi-invariant submersions from almost Hermitian manifolds

Bayram Şahin|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 거의 허미션만다라에서 리만다만으로의 준위상수를 도입하여, 반치환 및 거의 허미션준위상수를 일반화한다. 총다양체가 국소적으로 곱다양체임을 위한 기하적 조건을 설정하고, 완전히 지오데식 준위상수를 특성화하며, 복소공간형에서 완전히 포물형인 섬유를 가진 준위상수는 반드시 0의 곡률(c=0)을 가져야 하며, 분류 결과에 따르면 섬유는 또는 완전히 지오데식이거나 수평분포가 1차원임을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce semi-invariant Riemannian submersions from almost Hermitian manifolds onto Riemannian manifolds. We give examples, investigate the geometry of foliations which are arisen from the definition of a Riemannian submersion and find necessary-sufficient conditions for total manifold to be locally product Riemannian manifold. We also find necessary and sufficient conditions for a semi-invariant submersion to be totally geodesic. Moreover, we obtain a classification for semi-invariant submersions with totally umbilical fibers and show that such submersions put some restrictions on total manifolds.

연구 동기 및 목표

• 거의 허미션다양체에서 준위상수를 도입함으로써 반치환 및 거의 허미션준위상수를 일반화하는 것.
• 준위상수에 의해 유도된 분할의 기하학, 특히 잎의 적분 가능성과 기하학적 구조를 조사하는 것.
• 총다양체가 국소적으로 곱리만다만으로서의 리만다만이 되기 위한 필요 및 충분조건을 도출하는 것.
• 이러한 준위상수가 완전히 지오데식이 되기 위한 조건을 결정하는 것.
• 완전히 포물형 섬유를 가진 준위상수를 분류하고 그 곡률 제약 조건을 분석하는 것.

제안 방법

• 거의 복소구조에 대해 수직분포가 반치환이고 수평분포가 준위상수에 대해 불변인 리만준위상수로 준위상수를 정의한다.
• O’Neill의 텐서 𝒜 및 𝒯를 사용하여 준위상수의 기하학을 분석하고 곡률 관계를 유도한다.
• 완전히 포물형 섬유일 경우 복소공간형의 곡률텐서를 적용하여 총다양체의 곡률를 제약한다.
• 평균 곡률 벡터장 H를 사용하고, 텐서 항등식과 구조방정식을 통해 J𝒟₂에 속함을 보인다.
• 접선다양체의 분해를 이용한다: kerF*, (kerF*)⊥, 및 J-불변 부분다양체 𝒟₂.
• 일부 텐서 성분의 영성과 분포의 수직성을 분석함으로써 분류 정리를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준위상수의 총다양체가 국소적으로 곱리만다만으로서의 리만다만이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 준위상수가 완전히 지오데식이 되기 위한 필요 및 충분조건은 무엇인가?
• RQ3 복소공간형에서 완전히 포물형 섬유를 가진 준위상수일 경우 곡률 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 이러한 준위상수에서 섬유의 평균 곡률 벡터장은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 완전히 포물형 섬유를 가진 준위상수에 대해 어떤 분류를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 총다양체가 국소적으로 곱리만다만으로서의 리만다만이 되기 위해서는 F*의 공변도수, 텐서 𝒜 및 𝒯, 그리고 분포 kerF* 및 (kerF*)⊥과 관련된 특정 텐서 조건이 모두 영이어야 한다.
• 준위상수가 완전히 지오데릭이 되기 위해서는 관련 분포에서 텐서 𝒜 및 𝒯가 모두 영이어야 한다.
• 준위상수가 완전히 포물형 섬유를 가지며 총다양체가 복소공간형이라면 곡률는 반드시 0이어야 한다(c=0).
• 섬유의 평균 곡률 벡터장 H는 J-불변 부분다양체 J𝒟₂에 속하며, 이는 섬유의 기하학적 구조를 제한한다.
• 카이러다양체에서 완전히 포물형 섬유를 가진 준위상수는 수평분포 𝒟₂가 1차원이거나 섬유가 완전히 지오데릭이어야 한다.