[논문 리뷰] Semigroup and Category-Theoretic Approaches to Partial Symmetry

Alistair R. Wallis|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 07.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 역반군과 범주론적 HNN-확장의 조합을 통해 부분 대칭을 다루는 범주론적 프레임워크를 수립한다. 자가유사 군 작용에서 유도된 왼쪽 리스 반군이 반군 HNN-확장과 동형임을 보이며, Cuntz-Krieger 반군의 K-군과 그에 대응하는 C*-대수의 K₀-군 사이의 동형을 증명한다. 기저 행렬과 모듈러 이론을 통해 정규직교 완비 역반군에 대한 K-이론 함자를 구성한다.

ABSTRACT

This thesis is about trying to understand various aspects of partial symmetry using ideas from semigroup and category theory. In Chapter 2 it is shown that the left Rees monoids underlying self-similar group actions are precisely monoid HNN-extensions. In particular it is shown that every group HNN-extension arises from a self-similar group action. Examples of these monoids are constructed from fractals. These ideas are generalised in Chapter 3 to a correspondence between left Rees categories, self-similar groupoid actions and category HNN-extensions of groupoids, leading to a deeper relationship with Bass-Serre theory. In Chapter 4 of this thesis a functor $K$ between the category of orthogonally complete inverse semigroups and the category of abelian groups is constructed in two ways, one in terms of idempotent matrices and the other in terms of modules over inverse semigroups, and these are shown to be equivalent. It is found that the $K$-group of a Cuntz-Krieger semigroup of a directed graph $G$ is isomorphic to the operator $K^{0}$-group of the Cuntz-Krieger algebra of $G$ and the $K$-group of a Boolean algebra is isomorphic to the topological $K^{0}$-group of the corresponding Boolean space under Stone duality.

연구 동기 및 목표

• 반군 이론과 범주론을 활용하여 부분 대칭을 통합적으로 이해할 수 있는 프레임워크를 개발하는 것.
• 자기유사 군자리 작용과 범주론적 HNN-확장을 연결하는 관계를 설정하고, 반군 HNN-확장을 일반화하는 것.
• 기저 행렬과 모듈러 이론적 접근을 모두 활용하여 정규직교 완비 역반군에 대한 K-이론 함자를 구성하는 것.
• Cuntz-Krieger 반군의 K-군이 그에 대응하는 C*-대수의 K₀-군과 동형임을 증명하는 것.
• 트레이스 함수를 통한 역반군 K-이론과 퀀텀 크리스탈 물리학에서의 갭-라벨링 간의 연결 고리를 탐색하는 것.

제안 방법

• 자유 반군 위에서의 자가유사 군 작용으로부터 왼쪽 리스 반군을 Zappa-Szép 곱을 통해 구성하는 것.
• 반군 HNN-확장을 정의하고, 그것이 왼쪽 리스 반군과 동형임을 증명하며, 시어핀스키 삼각형과 같은 프랙탈에서의 예시를 제시하는 것.
• 군자리의 범주론적 HNN-확장으로 일반화하고, 왼쪽 리스 범주를 통해 Bass-Serre 이론과 연관짓는 것.
• 기저 행렬과 역반군 위의 모듈러 이론을 통해 K-함수 K를 구성하고, 두 접근 방식의 동치성을 증명하는 것.
• 지향 그래프의 Cuntz-Krieger 반군과 부울 대수에 대해 K-함수를 적용하여, 위상적 및 연산자 K₀-군과의 동형을 보여주는 것.
• 스칼라로 자가유사 작용을 구현하여 관련된 왼쪽 리스 반군에서의 곱 연산을 계산하는 것, 예를 들어 시어핀스키 삼각형의 경우.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기유사 군 작용은 반군 이론적 구성으로 어떻게 대수적으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 나무 위의 군 작용 맥락에서 왼쪽 리스 반군과 HNN-확장 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 기저 행렬과 모듈러 이론을 통해 역반군에 대한 K-이론을 동치적으로 정의할 수 있는가?
• RQ4 Cuntz-Krieger 반군의 K-군이 그에 대응하는 C*-대수의 K₀-군과 얼마나 동형인가?
• RQ5 역반군 위의 트레이스 함수는 퀀텀 크리스탈 모델의 갭-라벨링을 반군 이론적으로 어떻게 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 자기유사 군 작용에서 유도된 왼쪽 리스 반군은 정확히 반군 HNN-확장이며, 모든 군 HNN-확장은 이 방식으로 유도된다.
• 지향 그래프 G의 Cuntz-Krieger 반군의 K-군은 G의 Cuntz-Krieger C*-대수의 K₀-군과 동형이다.
• 부울 대수의 K-군은 해당 스톤 쌍대 공간의 위상적 K₀-군과 동형이다.
• 기저 행렬과 역반군 위의 모듈러 이론을 통한 K-함수의 두 구성 방식은 동치이다.
• 정규직교 완비 역반군 위의 모듈러 범주가 완비이자 구체적( concrete )이므로 표현 이론적 분석이 가능하다.
• 스칼라로 구현한 알고리즘이 성공적으로 시어핀스키 삼각형의 유사성 반군에서 곱 연산을 계산하였으며, 입력 (L, rsr)과 (RTL, s)에 대해 각각 (LLTR, rsrs)를 산출하였다.