[논문 리뷰] Semigroup C*-algebras and amenability of semigroups

Xin Li|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 왼쪽 취소 가능 세미군에 대해 감소형 및 전체 세미군 C*-대수의 새로운 구성법을 제안하며, 오른쪽 이상 구조를 통합하여 A. Nica의 작업과 J. Cuntz의 토플리츠 대수를 일반화한다. 주요 기여는 군의 경우와 유사하게, 이러한 C*-대수를 통해 세미군의 왼쪽 애매성의 특성화이다. 특히, C*-대수의 핵심성은 특정 조건 하에 왼쪽 애매성과 상호로 이끌어낸다.

ABSTRACT

We construct reduced and full semigroup C*-algebras for left cancellative semigroups. Our new construction covers particular cases already considered by A. Nica and also Toeplitz algebras attached to rings of integers in number fields due to J. Cuntz. Moreover, we show how (left) amenability of semigroups can be expressed in terms of these semigroup C*-algebras in analogy to the group case.

연구 동기 및 목표

• A. Nica의 세미군 C*-대수 구성법을 준-격자 순서 그룹을 초월하여 임의의 왼쪽 취소 가능 세미군으로 일반화하기.
• G. Murphy의 일반적인 등거리 표현 기반 구성법보다 더 다룰 수 있는 프레임워크를 제공하여, 비핵심 C*-대수를 유도하는 것.
• 세미군의 애매성과 관련된 C*-대수의 성질 사이에 직접적인 연결 고리를 설정하여 군의 경우를 반영하기.
• 토플리츠 대수 등 기존의 구성법을 공통적인 이상 이론적 프레임워크를 통해 통합하고 확장하기.

제안 방법

• 왼쪽 취소 가능 세미군의 오른쪽 이상 구조를 코딩하는 유니버설 성질을 사용하여 전체 및 감소형 세미군 C*-대수를 구성한다.
• 세미군이 군에 포함될 수 있다면, 전체 C*-대수 위에 군 C*-대수를 통과하는 조건 기대를 도입한다.
• 세미군 교차곱의 확장 이론을 사용하여 전체 C*-대수를 아벨 C*-대수 위의 군 작용에 의한 교차곱으로 실현한다.
• 교차곱의 안정성 및 핵심성 성질을 활용하여, C*-대수의 핵심성이 기저 세미군의 애매성으로 이어진다는 것을 증명한다.
• 특히 왼쪽 정규 표현을 사용하여, 감소형 및 전체 C*-대수 간의 동형사상이 애매성과 관련된 하위군에 대해 적용한다.
• 핵심 C*-대수의 몫이 핵심임을 이용하여, 핵심성 문제를 관련된 군과 아벨 대수의 구조로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A. Nica의 세미군 C*-대수 구성법은 준-격자 순서 그룹을 초월하여 임의의 왼쪽 취소 가능 세미군으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 세미군의 애매성과 관련된 C*-대수의 핵심성 또는 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 세미군이 왼쪽 애매성이 없을 때에도 세미군 C*-대수의 왼쪽 정규 표현이 동형사상이 될 수 있는가, 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ4 세미군의 이상 구조는 비주어진 이상환에서 관련된 C*-대수의 성질을 얼마나 정확히 결정하는가?
• RQ5 구성 가능한 오른쪽 이상들이 서로 독립적이어야만 하는 조건은 C*-대수 구성법이 다룰 수 있고 핵심적인 대수를 얻는 데 필수적인가?

주요 결과

• 모든 가산, 취소 가능, 아벨 세미군의 전체 세미군 C*-대수는 코로나리에 4.16에 의해 핵심임을 보였다.
• 감소형 또는 전체 세미군 C*-대수가 핵심일 경우, 세미군은 왼쪽 애매성이 있음을 4.17조문에서 입증하였다.
• 클래스 수가 1을 초월하는 정수의 환에서의 ax+b-세미군의 C*-대수는 J. Cuntz가 구성한 토플리츠 대수와 동형이며, 이는 구성법이 알려진 예제를 일반화함을 보여준다.
• 자유곱 N*n과 같은 비애매성 세미군에 대해서도, 세미군이 취소 가능하고 왼쪽으로 반전 가능하다면 구성법은 핵심 C*-대수를 유도한다.
• 세미군이 왼쪽 애매성이 없음에도 불구하고, 자유곱 N*n에 대해 왼쪽 정규 표현 λ: C*s(P) → C*r(P)는 동형사상이 되며, 이는 동형사상과 애매성 사이에 격차가 있음을 시사한다.
• Murphy의 구성법에 따르면 N×N의 전체 세미군 C*-대수는 핵심이 아니지만, 본 논문의 구성법은 아벨 세미군에 대해 핵심성을 보장하므로 새로운 프레임워크의 우수성을 드러낸다.