[논문 리뷰] Semilinear Stochastic Evolution Equations with Lévy Noise and Monotone Nonlinearity

Erfan Salavati, Bijan Z. Zangeneh|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단조성 비선형성의 비선형성과 레비 노이즈에 의해 구동되는 반선형 확률진화방정식에 대한 미약해의 존재성, 유일성 및 안정성을 증명하며, 반복 방법과 레비 노이즈에 의해 구동되는 확률적 콘볼루션 적분에 대한 새로운 이토 유형 부등식을 사용한다. 주요 기여는 계수에 대한 강제성 조건을 요구하지 않고 이러한 결과를 증명함으로써 초월형 SPDE 및 지연 방정식으로의 적용 가능성을 넓힌 것이다.

ABSTRACT

Semilinear stochastic evolution equations with multiplicative Lévy noise and monotone nonlinear drift are considered. Unlike other similar work we do not impose coercivity conditions on coefficients. Existence and uniqueness of the mild solution is proved using an iterative method. The continuity of the solution with respect to initial conditions and coefficients is proved and a sufficient condition for exponential asymptotic stability of the solutions has been derived. The solutions are proved to have a Markov property. Examples on stochastic partial differential equations and stochastic delay equations are provided to demonstrate the theory developed. The main tool in our study is an Itô type inequality which gives a pathwise bound for the norm of stochastic convolution integrals.

연구 동기 및 목표

• 다중 레비 노이즈와 단조성 비선형성 드리프트를 갖는 반선형 확률진화방정식에 대한 미약해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 이전 연구에서 적용 범위를 제한하는 계수에 대한 강제성 조건이 필요 없도록 제거한다.
• 초기 조건과 계수에 대한 해의 연속성을 증명한다.
• 해의 지수적 점근적 안정성에 대한 충분조건을 유도한다.
• 해 과정의 마코프 성질을 증명하고, SPDE 및 확률적 지연 방정식의 예를 들어 이론을 검증한다.

제안 방법

• 비선형 드리프트 및 확산 계수에 대한 단조성과 리프시츠 조건 하에서 반복 방법을 사용하여 미약해를 구성한다.
• 레비 노이즈에 의해 구동되는 확률적 콘볼루션 적분의 노름에 대한 경로 기반 경계를 제공하기 위해 새로운 이토 유형 부등식을 도입한다.
• 힐베르트 공간에서 $C_0$ 반군의 무한소 생성자를 사용하는 반군 접근법을 적용한다.
• 밀도 임베딩 $B \subset H \subset B^*$를 사용하여 비유계 연산자를 다루고 드리프트의 단조성을 보장한다.
• 이중 공간에서의 1차 시스템으로 제2차 초월형 SPDE 및 확률적 지연 방정식을 변환하여 주정리의 적용을 가능하게 한다.
• 적절한 솔레브 및 르베그 공간 임베딩 하에서 변환된 계수들이 요구되는 단조성과 리프시츠 조건을 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강제성 조건 없이 레비 노이즈와 단조성 드리프트를 갖는 반선형 SPDE에 대한 미약해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 레비 노이즈에 의해 구동되는 확률적 콘볼루션 적분에 대해 가능한 경로 기반 추정은 무엇이며, 이를 존재성 및 안정성 증명에 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ3 다중 레비 노이즈가 존재하는 상황에서 해는 초기 조건과 계수에 대해 연속적으로 의존하는가?
• RQ4 해가 지수적 점근적 안정성이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이러한 일반적인 설정에서 레비 노이즈와 단조성 드리프트를 갖는 해 과정은 마코프 성질을 갖는가?

주요 결과

• 강제성 조건 없이도 레비 노이즈와 단조성 비선형 드리프트를 갖는 방정식에 대해 미약해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 해는 초기 조건과 계수에 대해 연속적이며, 변화에 대한 강건성을 보장한다.
• 지수적 점근적 안정성에 대한 충분조건이 도출되었으며, 이는 단조성 상수와 노이즈 강도에 의존한다.
• 해 과정이 마코프 성질을 갖는다는 것이 입증되었으며, 이는 전이핵 등 확률적 도구의 사용을 가능하게 한다.
• 이론은 두 가지 예를 통해 검증되었다: 적절한 솔레브 임베딩을 갖는 힐베르트 공간 내에서의 확률적 포아송 SPDE와 제2차 확률적 초월형 방정식.
• 이토 유형 부등식은 확률적 콘볼루션 적분에 대한 중요한 경로 기반 경계를 제공하며, 존재성 및 안정성에 대한 반복 증명을 가능하게 한다.