[논문 리뷰] Strong solutions for SPDE with locally monotone coefficients driven by Lévy noise

Zdzisław Brzeźniak, Wei Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 레비 소음에 의해 구동되는 국소 단조 계수를 가진 확률 편미분방정식(SPDEs)에 대한 강해의 존재성과 유일성을 위한 통합 프레임워크를 수립한다. 비가우시안, 점프 유형의 레비 소음으로 일반화된 변분적 접근법을 확장함으로써, 저자들은 스토하스틱 2D 나비에-스토크스 방정식, 반응-확산 방정식, 비뉴턴 유체 방정식을 포함한 광범위한 SPDE 클래스에 대해 강해를 증명한다. 이는 더 약한 단조성 및 성장 조건 하에서 이전 결과들을 일반화한다.

ABSTRACT

Motivated by applications to a manifold of semilinear and quasilinear stochastic partial differential equations (SPDEs) we establish the existence and uniqueness of strong solutions to coercive and locally monotone SPDEs driven by Lévy processes. We illustrate the main result of our paper by showing how it can be applied to various types of SPDEs such as stochastic reaction-diffusion equations, stochastic Burgers type equations, stochastic 2D hydrodynamical systems and stochastic equations of non-Newtonian fluids, which generalize many existing results in the literature.

연구 동기 및 목표

• 레비 소음에 의해 구동되는 국소 단조 계수를 가진 SPDE에 대한 강해를 위한 일반적인 변분적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 이전의 유크라 소음에 의해 구동되는 SPDE에 대한 결과를 더 일반적인 다중성 레비 소음의 경우로 확장하기 위해.
• 스토하스틱 2D 나비에-스토크스, 버거스 유형, 비뉴턴 유체 방정식 등의 기존 SPDE에 대한 존재성 및 유일성 결과를 통합하고 일반화하기 위해.
• 구조 조건 (H1)–(H4)의 철저한 검증을 통해 프레임워크가 구체적인 SPDE에 적용 가능한지를 검증하기 위해.
• 비리프시츠 비선형성과 작은 점프를 포함한 레비 소음이 있는 방정식에 대해서도 이 방법이 적용 가능함을 보여주어 이전 접근법의 한계를 극복하기 위해.

제안 방법

• 가우시안 소음에서 점프 유형의 소음으로의 국소 단조성 방법을 확장하여, SPDE에 대한 변분적 프레임워크에 다중성 레비 소음을 포함시키기 위해 적응시키기 위해.
• 일반화된 이토 공식과 힐버트 공간 내 에너지 추정을 사용하여 국소 단조 조건 하에서 비선형 이동항과 확산항을 제어하기 위해.
• 핵심 구조 조건 (H1)–(H4): 국소 단조성, 강제성, 성장 경계, 소음 계수의 적분 가능성 조건을 검증하기 위해.
• 크릴로프-보골리우브 방법과 타이트니스 추론을 사용하여 갈레르킨 근사법을 통해 전역 강해를 구성하기 위해.
• 비뉴턴 유체 방정식에서 비선형항을 제어하기 위해 보간 부등식과 코른 부등식을 활용하기 위해.
• 카스민스키 시험과 경로 유일성을 사용하여 국소 해의 존재성 이후 전역 존재성을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 와이너 소음에 의해 구동되는 국소 단조 SPDE에 대한 변분적 프레임워크를 레비 소음에 의해 구동되는 SPDE로 확장할 수 있는가?
• RQ2 국소 단조 이동항과 다중성 레비 소음이 있는 SPDE에 대해 강해가 존재하고 유일하기 위한 계수와 소음에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 프레임워크는 레비 소음이 있는 스토하스틱 2D 나비에-스토크스 방정식 및 비뉴턴 유체 방정식과 같은 구체적인 SPDE에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ4 존재성과 유일성을 보장하기 위해 소음과 비선형성에 대한 최소한의 적분 가능성 및 성장 조건은 무엇인가?
• RQ5 비리프시츠 비선형성과 레비 소음의 작은 점프를 포함한 경우, 이 방법은 유체역학적 유형 방정식에 대해 적용 가능한가?

주요 결과

• 이 논문은 레비 소음에 의해 구동되는 국소 단조 계수를 가진 광범위한 SPDE 클래스에 대해, 약한 적분 가능성 및 성장 조건 하에서 강해의 존재성과 유일성을 수립한다.
• 이 프레임워크는 이전의 유크라 소음에 의해 구동되는 SPDE에 대한 결과들을 일반화하고 개선하며, 스토하스틱 2D 나비에-스토크스 및 비뉴턴 유체 방정식에 대한 결과를 포함한다.
• 다중성 레비 소음이 있는 스토하스틱 힘법 유체 방정식에 대해서는, $ p /geq rac{d+2}{2} $ 일 때 $ L^4( ext{loc}; L^4( ext{div-free vector fields})) $ 에서 유일한 강해가 존재한다.
• 강제성 조건은 코른 부등식과 응력 텐서의 점별 추정을 통해 확인되며, 이는 이동항의 필요한 하한을 보장한다.
• 성장 조건 (H4) 는 에너지 공간 내 보간 및 소볼레프 임bedding 추정을 통해 $ p /geq rac{d+2}{2} $ 일 때 만족된다.
• 카스민스키 시험 조건을 검증함으로써, 비리프시츠 비선형성과 점프 유형의 소음이 있는 경우에도 해가 경로 유일성과 전역성을 유지함을 확인하였다.