[논문 리뷰] Sensitivity analysis of the utility maximization problem with respect to model perturbations

Oleksii Mostovyi, Mihai Ŝırbu|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 시장의 위험 프리미엄에 대한 변화에 대한 2차 감도 분석을 불완전한 연속 반마르팅게일 시장에서의 효용 최적화 문제에 적용한다. 쌍대 공식화를 도입하고, 위험 수용 능력 재산 과정을 기준 자산으로 삼아, 키투나-와타나베 분해를 통해 가치 함수, 최적의 종료 재산, 거래 전략에 대한 명시적 2차 근사식을 유도한다. 이는 닫힌 형식의 해가 소규모 모델 변화에 의해 존재하지 않을 경우에도 정확한 근사를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study the sensitivity of the expected utility maximization problem in a continuous semi-martingale market with respect to small changes in the market price of risk. Assuming that the preferences of a rational economic agent are modeled with a general utility function, we obtain a second-order expansion of the value function, a first-order approximation of the terminal wealth, and construct trading strategies that match the indirect utility function up to the second order. If a risk-tolerance wealth process exists, using it as a numéraire and under an appropriate change of measure, we reduce the approximation problem to a Kunita-Watanabe decomposition.

연구 동기 및 목표

• 불완전한 연속 반마르팅게일 시장에서 시장의 위험 프리미엄에 대한 소규모 변화에 따른 기대 효용 최적화 문제의 민감도를 분석한다.
• 일반적인 효용 함수와 유한한 상대 위험 회피도를 가진 경우, 가치 함수의 2차 전개와 최적 종료 재산에 대한 1차 수정항을 유도한다.
• 간접 효용 함수를 2차까지 일치시키는 근사 거래 전략을 구성한다.
• 이러한 2차 근사의 존재와 위험 수용 능력 재산 과정의 존재 사이의 연관성을 확립한다.
• 모델의 매개변수가 변화함에 따라 닫힌 형식의 해를 失한 경우에도 최적 투자 전략을 근사하는 체계적인 방법을 제공한다.

제안 방법

• 값 함수의 2차 전개를 가능하게 하기 위해, 동시에 시장의 위험 프리미엄과 초기 자산을 변화시켜 차원을 증가시킨다.
• 기본 문제의 2차 근사와 쌍대 가치 함수의 2차 근사가 관련된 보조 2차 확률 제어 문제를 설정한다.
• 위험 수용 능력 재산 과정을 기준 자산으로 삼고, 적절한 측도 변화를 적용하여, 변화 과정에 의해 생성된 마르팅게일의 키투나-와타나베 분해로 문제를 환원한다.
• 이중 이론과 반마르팅게일 기법을 활용하여 최적의 재산과 쌍대 과정을 2차 최적화 문제의 해와 연결한다.
• 2차 전개의 존재 조건을 추상 정리들을 통해 검증하고, 주요 결과를 가시성 및 적분 가능성 조건의 점검으로 환원한다.
• 닫힌 형식의 해가 존재하는 두 가지 거래 자산을 가진 파워 효용 모델에 이 틀을 적용하고, 키투나-와타나베 분해를 통해 수정항의 닫힌 형식의 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불완전한 시장에서 시장의 위험 프리미엄에 대한 소규모 변화에 따라 효용 최적화 문제의 가치 함수는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 값 함수가 초기 자산과 변화 매개변수에 대해 공동으로 오목적이지 않은 경우에도, 가치 함수의 2차 전개를 구성할 수 있는가?
• RQ3 위험 수용 능력 재산 과정은 최적 종료 재산과 거래 전략의 명시적 2차 근사화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 키투나-와타나베 분해를 통해 변화에 따른 최적 전략의 수정항을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ5 매개변수가 변화함에 따라 닫힌 형식의 해를 失한 모델에서 얼마나 정확하게 근사 최적 전략을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 상대 위험 회피도를 가진 일반적인 효용 함수에 대해, 변화 변수에 대해 오목적이지 않은 경우에도 가치 함수의 2차 전개를 도출하였다.
• 최적의 종료 재산은 변화 과정과 관련된 마르팅게일의 키투나-와타나베 분해를 통해 1차로 수정된다.
• 위험 수용 능력 재산 과정이 존재할 경우, 변화 과정에 의해 유도된 측도와 기준 자산을 사용하여 가치 함수와 최적 전략의 수정항을 키투나-와타나베 분해를 통해 명시적으로 표현할 수 있다.
• 파워 효용의 경우, 2차 전개의 계수들 — $a(x,x)$, $a(x,d)$, $a(d,d)$ — 는 측도 $\mathbb{R}(1,0)$ 하에서의 기대값을 통해 명시적으로 계산되며, $\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F]$, $\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[N^1_T(1,0)^2]$, 및 $\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F^2 + G]$ 를 포함한다.
• 변화를 무작위 수혜로 간주할 때의 한계 효용 기반 가격은 $a(x,d) = -p \mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F]$ 로 주어지며, 이는 수정항을 경제적 가격 이론과 연결한다.
• 최적의 재산과 쌍대 과정이 초기 자산과 쌍대 변수에 대한 도함수로 $\mathbb{P}$-확률에서 수렴함을 확인하여, 1차 감도 결과의 타당성을 입증한다.