[논문 리뷰] Separability and Entanglement-Breaking in Infinite Dimensions

A. S. Holevo, M. E. Shirokov외 1명|arXiv (Cornell University)|2005. 04. 27.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 9인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 양자 시스템에서 분리 가능한 상태에 대한 적분 표현을 수립하며, 가чёт수로 분해될 수 없는 분리 가능한 상태의 존재를 증명함으로써 유한차원에서의 직관을 도전한다. 또한 얽힘을 끊는 채널의 구조 정리도 일반화하여, 무한차원에서 이러한 채널이 랭크-1 연산자로 구성된 크라우스 표현을 갖지 않을 수 있음을 보이며, 이는 유한차원 사례와의 근본적인 구조적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper we give a general integral representation for separable states in the tensor product of infinite dimensional Hilbert spaces and provide the first example of separable states that are not countably decomposable. We also prove the structure theorem for the quantum communication channels that are entanglement-breaking, generalizing the finite-dimensional result of M. Horodecki, Ruskai and Shor. In the finite dimensional case such channels can be characterized as having the Kraus representation with operators of rank 1. The above example implies existence of infinite-dimensional entanglement-breaking channels having no such representation.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 프레임워크를 초월하여 무한차원 힐버트 공간에서 분리 가능한 상태의 특성화를 일반화하는 것.
• 유한차원에서의 분리 가능성 개념이 유한한 볼록 조합으로 표현된다는 직관을 도전하는, 가чёт수로 분해될 수 없는 분리 가능한 상태의 존재를 확립하는 것.
• 얽힘을 끊는 채널의 구조 정리를 무한차원으로 확장하여, 유한차원에서는 존재하지 않는 새로운 구조적 특징을 드러내는 것.
• 특히 연속적인 대칭을 갖는 경우에 무한차원 얽힘을 끊는 채널의 고전적 용량을 분석하는 것.

제안 방법

• 밀도 연산자 집합 위의 보흐너 적분을 사용하여 Borel 확률 측도의 바리센터를 정의함으로써, 분리 가능한 상태의 적분 표현을 가능하게 한다.
• choquet의 정리와 약한 컴팩트니스 기준을 적용하여, 무한차원에서의 분리 가능한 상태가 제품 상태에 지지된 측도의 바리센터임을 보여준다.
• 특히 포크 공간에서의 회전 연산자에 의해 유도되는 유니터리 공변 채널의 구조를 활용하여, 얽힘을 끊는 채널을 모델링한다.
• 출력 엔트로피와 상대 엔트로피를 이용하여 연속성과 엔트로피 함수의 유니터리 불변성을 활용해 이러한 채널의 고전적 용량을 유도한다.
• 트레이스-노름 위상과 측도의 약한 수렴을 사용하여 바리센터 사상의 연속성과 볼록체의 컴팩트니스를 확보한다.
• 채널의 범위의 폐쇄 개념과 출력 엔트로피를 최대화하는 유일한 상태의 존재를 적용하여 고전적 용량을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 시스템에서의 분리 가능한 상태는 항상 제품 상태의 가чёт수 볼록 조합으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 무한차원에서의 얽힘을 끊는 채널은 반드시 랭크-1 연산자로 구성된 크라우스 표현을 갖는가? (유한차원 사례와 동일한가?)
• RQ3 연속적인 회전 대칭을 갖는 무한차원 얽힘을 끊는 채널의 고전적 용량은 얼마인가?
• RQ4 무한차원에서 어떤 조건에서 채널의 출력 엔트로피가 그 범위에서 연속적인가?
• RQ5 얽힘을 끊는 채널에 의해 도달할 수 있는 상태의 집합의 구조는 무한차원에서 유한차원 사례와 어떻게 다를까?

주요 결과

• 이 논문은 가чёт수로 분해될 수 없는 분리 가능한 상태의 첫 번째 알려진 예를 구성하며, 분리 가능한 상태가 반드시 유한하거나 가чёт수의 볼록 조합으로 유도되지 않음을 보여준다.
• 무한차원에서의 분리 가능한 상태가 제품 상태에 대한 Borel 확률 측도를 통해 적분 표현을 갖는다는 것을 증명하며, 이는 유한차원의 카라테오도리 유형 표현을 일반화한다.
• 무한차원에서의 얽힘을 끊는 채널이 랭크-1 연산자로 구성된 크라우스 표현을 갖지 않을 수 있음을 보이며, 이는 유한차원의 구조 정리를 일반화하고 근본적인 구조적 차이를 드러낸다.
• 특정 클래스의 얽힘을 끊는 채널—연속적인 유니터리 군에 대해 공변하는 채널—의 고전적 용량은 대각 상태의 본네만 엔트로피로 주어지며, 시리즈 형태로 표현된다: $ C(\tilde{\Phi}) = -\sum_{k=-\infty}^{\infty} |\langle k|\varphi\rangle|^2 \log |\langle k|\varphi\rangle|^2 $.
• 용량이 유한한 것은 오직 해당 엔트로피 시리즈가 수렴할 때에만 성립하며, 이는 출력 엔트로피가 채널의 범위에서 연속적임을 의미함을 보여주며, 최대 엔트로피가 도달 가능함을 보장한다.
• 출력 엔트로피를 최대화하는 유일한 상태는 채널의 작용을 유니터리 군에 대해 평균화한 것으로, 이는 포크 기저에서의 대각 상태가 된다.