[논문 리뷰] Separating Path and Identity Types in Presheaf Models of Univalent Type Theory

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 02.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유니발런트 유형 이론의 프레시프 모델—특히 첫 번째 및 두 번째 클레인 대수 위에서—경로 유형이 제안된 절단이 존재할 경우 항등 유형으로 기능할 수 없다는 것을 보여준다. 브라우어의 반례와 실현 가능성 논증을 사용하여, 반사 맵이 체계적으로 비례하지 않음을 증명함으로써, 이러한 모델에서 경로 유형과 항등 유형을 직접 식별할 수 없음을 규명한다.

ABSTRACT

We give a collection of results regarding path types, identity types and univalent universes in certain models of type theory based on presheaves. The main result is that path types cannot be used directly as identity types in any Orton-Pitts style model of univalent type theory with propositional truncation in presheaf assemblies over the first and second Kleene algebras. We also give a Brouwerian counterexample showing that there is no constructive proof that there is an Orton-Pitts model of type theory in presheaves when the universe is based on a standard construction due to Hofmann and Streicher, and path types are identity types. A similar proof shows that path types are not identity types in internal presheaves in realizability toposes as long as a certain universe can be extended to a univalent one. We show that one of our key lemmas has a purely syntactic variant in intensional type theory and use it to make some minor but curious observations on the behaviour of cofibrations in syntactic categories.

연구 동기 및 목표

• 프레시프 기반의 오르톤-피츠 스타일의 유니발런트 유형 이론 모델에서 경로 유형이 항등 유형으로 사용될 수 있는지 조사한다.
• 경로 유형이 항등 유형으로 사용될 경우, 반사 맵 $ r^X: X \to X^\mathbb{I} $ 가 체계적으로 비례하지 않는 조건을 규명한다.
• 실현 가능성 토포스와 프레시프 어셈블리에서, 만약 유니발런트 유니버스가 존재한다면 경로 유형은 항등 유형으로 기능할 수 없다는 것을 보여준다.
• 유니발런스와 제안된 절단이 있는 체계적 유형 이론에서 경로 유형을 항등 유형으로 사용하는 데서 발생하는 제약 조건을 탐색한다.
• 유니발런스, 캐논리시티, 그리고 경로 유형과 항등 유형의 정의적 동치성 간의 갈등을 명확히 한다.

제안 방법

• 경로의 상수 경로 포함이 특정 실현 가능성 모델에서 점별 결정 가능하지 않음을 보이기 위해, 브라우어의 반례를 구성한다.
• 경로 유형이 항등 유형으로 간주된다는 가정을 바탕으로, 특정 맵이 코프리즘임을 유도하며, 피브레이션의 구조와 러핑 성질을 활용한다.
• 유니발런트 유니버스를 적용하여, 코프리즘들이 이중 부정 하에 점별로 안정됨을 보여주며, 비체계적인 결과를 이끌어낸다.
• 이러한 기법들을 조합하여, 실현 가능성 모델에서 체계적으로 잘못된 결과를 도출한다. 예를 들어, 비례 코프리즘의 이미지가 결정 가능하지 않다는 점이다.
• 내부 유형 이론의 핵심 보조정리의 문법적 변형을 사용하여, 문법적 카테고리에서의 코프리즘 행동을 분석한다.
• 첫 번째 및 두 번째 클레인 대수 위의 프레시프 기반 모델을 분석하며, 입체 어셈블리와 실현 가능성 토포스에 집중한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 첫 번째 및 두 번째 클레인 대수 위의 프레시프 어셈블리에서, 제안된 절단이 존재하는 오르톤-피츠 스타일의 유니발런트 유형 이론 모델에서 경로 유형과 항등 유형을 동일시할 수 있는가?
• RQ2 경로 유형이 항등 유형으로 사용될 경우, 반사 맵 $ r^X: X \to X^\mathbb{I} $ 가 체계적으로 비례한다는 체계적 증명이 존재하는가?
• RQ3 유니발런트 유니버스가 존재할 경우, 실현 가능성 토포스에서 경로 유형을 항등 유형으로 사용하는 데서 발생하는 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 정규성 조건(예: $ \sigma $-규칙)을 얼마나 활용하여, 경로 유형과 항등 유형을 통합하면서도 유니발런스를 유지할 수 있는가?
• RQ5 한 유형 이론에서 동시에 유니발런스, 양호한 계산 성질(예: 캐논리시티 및 결정 가능한 유형 검사), 그리고 경로 유형과 항등 유형의 정의적 동치성을 만족할 수 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 및 두 번째 클레인 대수 위의 프레시프 어셈블리에서, 제안된 절단이 존재할 경우 경로 유형은 항등 유형으로 사용될 수 없다.
• 브라우어의 반례는 이러한 모델에서 반사 맵 $ r^X $ 가 체계적으로 비례한다는 체계적 증명이 존재하지 않음을 보여준다.
• 경로 유형이 항등 유형으로 간주된다는 가정은 특정 맵이 코프리즘임을 강요하며, 이는 실현 가능성 모델에서 비체계적인 결과를 초래한다.
• 실현 가능성 토포스 내부의 프레시프에서, 만약 유니발런트 유니버스가 확장 가능하다면 경로 유형은 항등 유형이 아니다.
• 논문의 핵심 보조정리는 내부 유형 이론에서 순수하게 문법적 변형을 가지며, 이는 문법적 카테고리에서 코프리즘의 미세한 행동을 드러낸다.
• 결과적으로, 하나의 유형 이론에서 동시에 유니발런스, 양호한 계산 성질(예: 캐논리시티 및 결정 가능한 유형 검사), 그리고 경로 유형과 항등 유형의 정의적 동치성을 만족하는 것은 불가능하다는 것이 제안된다.