[논문 리뷰] Separation profiles, isoperimetry, growth and compression

Corentin Le Coz, Antoine Gournay|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 25.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 등치면적, 성장, 힐버트 압축을 사용하여 그래프의 분리 프로파일에 대한 경계를 설정하며, 다항식 등치면적과 성장을 갖는 그래프의 경우 분리 프로파일이 $ n $ 의 거듭제곱으로 증가함을 보여주며, 애먼 군의 경우 하한이 $ n / \log(n)^a $ 의 주기성을 가지며, $ L^p $-공간에서 비자명한 압축을 갖는 군의 경우 상한이 $ n / \log(n)^b $ 의 주기성을 가짐을 보임. 또한 지수적 성장을 갖는 해소 가능한 군은 하향적 거듭제곱 경계가 없는 분리 프로파일을 가질 수 없음을 증명함.

ABSTRACT

We give lower and upper bounds for the separation profile (introduced by Benjamini, Schramm & Timár) for various graphs using the isoperimetric profile, growth and Hilbertian compression. For graphs which have polynomial isoperimetry and growth, we show that the separation profile $\mathrm{Sep}(n)$ is also bounded by powers of $n$. For many amenable groups, we show a lower bound in $n/ \log(n)^a$ and, for any group which has a non-trivial compression exponent in an $L^p$-space, an upper bound in $n/ \log(n)^b$. We show that solvable groups of exponential growth cannot have a separation profile bounded above by a sublinear power function. In an appendix, we introduce the notion of local separation, with applications for percolation clusters of $ \mathbb{Z}^{d} $ and graphs which have polynomial isoperimetry and growth.

연구 동기 및 목표

• 등치면적 및 성장 성질을 사용하여 그래프의 분리 프로파일에 대한 정량적 경계를 설정하는 것.
• 애먼 군의 경우 분리 프로파일을 $ L^p $-공간의 압축 지수와 연결하는 것.
• 다항식 등치면적과 성장을 갖는 그래프, 특히 $ \mathbb{Z}^d $ 의 침투 클러스터를 포함한 분리 프로파일을 분석하는 것.
• 무한 그래프에서 정점 중심 분석을 위한 분리 프로파일의 국소 변형을 도입하고 연구하는 것.
• 지수적 성장을 갖는 해소 가능한 군은 하향적 거듭제곱 경계가 없는 분리 프로파일을 가질 수 없음을 보이는 것.

제안 방법

• 그래프 연결성과 관련하여 분리 프로파일을 $ \operatorname{Sep}(n) = \sup_{|F| \leq n} |F| \cdot h(F) $ 로 정의하기 위해 체거 상수 $ h(F) $ 를 사용함.
• 등치면적 차원 가정을 적용하여 경계 대 부피 비율이 통제된 부분집합의 순차적 시퀀스 $ (F_i) $ 를 유도함.
• 크기가 감소하고 등치면적 비율이 통제된 중첩된 부분집합의 반복적 구성 기법을 사용하여 $ \operatorname{Sep}^v(n) $ 의 하한을 유도함.
• 최소 집합의 체거 상수와 경계 확장 간의 관계를 유도하기 위해 부등식 $ 2h(X) \geq \varepsilon \frac{|\partial X|}{|X|} $ 를 사용함.
• 성장 경계 $ b_n \leq K_1 n^d $ 와 등치면적 경계 $ \Lambda(n) \geq K_1 n^{-1/d} $ 를 사용하여 $ \operatorname{Sep}(n) $ 의 거듭제곱 법칙 스케일링을 도출함.
• 침투 클러스터와 다항식 그래프에서 정점 중심 분석을 위한 국소 분리 프로파일 $ \operatorname{Sep}^v_G(n) $ 를 도입함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등치면적 및 성장 성질이 그래프의 분리 프로파일을 어떻게 제약하는가?
• RQ2 애먼 군의 경우 분리 프로파일과 $ L^p $-공간의 압축 지수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 침투 클러스터의 국소 기하 성질을 사용하여 $ \mathbb{Z}^d $ 의 침투 클러스터의 분리 프로파일을 하한으로 제약할 수 있는가?
• RQ4 지수적 성장을 갖는 해소 가능한 군의 분리 프로파일에 대한 渐近 경계는 무엇인가?
• RQ5 다항식 등치면적과 성장을 갖는 그래프에서 국소 분리 프로파일은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 차원 $ d $ 의 등치면적과 차수 $ d $ 의 다항식 성장을 갖는 그래프의 경우, 분리 프로파일은 $ \frac{\operatorname{Sep}(n)}{n} \geq \frac{K_3}{n^{1/d}} $ 를 만족하며, 이는 거듭제곱 법칙 하한을 보여줌.
• 성장이 다항식 $ b_n \leq K_1 n^d $ 인 그래프의 경우, 분리 프로파일은 $ \frac{\operatorname{Sep}(n)}{n} \leq \frac{K_2 \log n}{n^{1/d}} $ 를 만족하며, 이는 상한에 로그 보정이 있음을 나타냄.
• $(d_1, d_2)$-다항식 그래프의 경우, 국소 분리 프로파일은 임의의 $ \eta \in (0,1) $ 에 대해 $ \operatorname{Sep}^v(n) \geq c n^{(1-\eta) \cdot \frac{d_1^2(d_1 - 1)}{d_2^3}} $ 를 만족하며, 이는 비자명한 거듭제곱 법칙 하한을 확립함.
• 초임계 침투 클러스터 $ \mathbb{Z}^d $ 에서 국소 분리 프로파일은 원점으로부터 $ \exp(n^{(1-\varepsilon)\frac{d}{d-1}}) $ 이내의 정점에서 $ \operatorname{Sep}^x_{\mathcal{C}_\infty}(n) \geq c n^{\frac{d-1}{d}} $ 를 만족함.
• 지수적 성장을 갖는 해소 가능한 군은 어떤 하향적 거듭제곱 함수보다도 위로 제약되지 않은 분리 프로파일을 가질 수 없으며, 즉 $ \operatorname{Sep}(n) \prec n^\alpha $ 이다. $ \alpha < 1 $.
• 국소 분리 프로파일 $ \operatorname{Sep}^v(n) $ 는 $ c' \cdot g(v, |B(v,2n)|)^{\frac{d_1^2 + d_1 - 1}{d_1}} \cdot |B(v,2n)|^{(1-\eta)\alpha} $ 에 의해 하한으로 제약되며, 여기서 $ g $ 는 국소 성장을 측정하고 $ \alpha $ 는 $ d_1, d_2 $ 에 따라 결정됨.