[논문 리뷰] Sequential and exact formulae for the subdifferential of nonconvex integral functionals

Rafael Corrêa, Abderrahim Hantoute외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 14.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 40인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비볼록 적분 함수열 $ E_f(x) = \int_T f(t,x)\,d\mu(t) $ 의 프레셰 및 한계 하위미분에 대해 순차적이고 정확한 미분법칙을 수립한다. 여기서 $ f $ 는 $ \sigma $-유한 측도 공간 위에 값이 있는 분리 가능한 아스플룬드 공간으로의 정상적 적분 함수이다. 강력한 최소값과 변분 원리를 활용하여, $ f $ 의 하위미분의 가측 선택의 적분의 극한을 통해 하위미분의 정확한 표현을 도출하며, 자격 조건 없이 비볼록 설정으로 고전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

This work concerns the study of the subdifferential of the integral functional $$ E_f(x)=\int_{T} f(t,x)dμ(t), $$ where $f$ is a (not necessarily convex) normal integrand, $({T},\mathcal{A},μ)$ is a $σ$-finite measure space, while the decision variables vary in a separable Asplund space. First, using techniques of variational analysis we establish sequential approximate formulae for the Fréchet subdifferential of $E_f$. Secondly, we introduce a Lipschitz-like condition, which allows us to give an upper-estimation for the limiting subdifferential of $E_{f}$ even when this functional is non-Lipschitz.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 적분 함수열 $ E_f(x) = \int_T f(t,x)\,d\mu(t) $ 의 프레셰 및 한계 하위미분에 대해 순차적이고 정확한 공식을 개발하는 것.
• 이전에 볼록 적분 함수에 국한되었던 고전적 하위미분 미분법칙을 변분 해석 기법을 통해 비볼록 케이스로 확장하는 것.
• 함수열 $ E_f $ 의 하위미분이 $ f $ 의 하위미분의 가측 선택의 적분의 극한으로 표현될 수 있는 조건을 확립하여 자격 조건 없이 적용하는 것.
• 일반화된 리프시츠 유사 조건을 사용하여 한계 하위미분과 클라크-로카팔라르 하위미분에 대한 상한 추정을 제공하는 것.
• 이전의 Ioffe [28] 및 Lopez-Thibault [34] 의 결과를 비볼록 설정에서 통합하고 개선하는 것.

제안 방법

• 정의 3.1의 강력한 국소 최소값 개념을 적응하여, 적분 함수열의 맥락에서 Borwein-Preiss 변분 원리를 적용할 수 있도록 하는 것.
• 가측 선택 $ x_n^*(t) \in \hat{\partial}f(t, x_n(t)) $ 의 순차적 극한을 사용하여 프레셰 하위미분을 특성화하며, $ x_n \to x $ 가 $ L^\infty $ 에서 수렴하고, $ f(t, x_n(t)) $ 의 적분이 $ f(t,x) $ 로 수렴하는 조건을 설정하는 것.
• 기본 공간 $ X $ 와 $ p $-적분 가능 함수의 함수공간에서 변분 원리를 적용하여 정확한 미분법칙을 도출하는 것.
• 함수의 적분자 $ f $ 에 대해 리프시츠 유사 조건을 도입하여, $ E_f $ 의 한계 하위미분을 유계로 제한하는 것. 이는 고전적 리프시츠 연속성의 일반화이다.
• 이중극 정리와 Castaing의 표현을 사용하여, 쌍대 공간에서의 적분 가능 컴팩트성과 극대 공간 성질 간의 관계를 극대 공간의 폴라 콘에 의해 연결하는 것.
• 약한* 순차 상한 $ \operatorname{Ls}^{w^*} \{ x_n^*(t) \} $ 을 사용하여 한계 하위미분을 특성화하고, 거의 모든 곳에서 $ \partial f(t,x) $ 에 포함됨을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자격 조건 없이 비볼록 적분 함수열 $ E_f $ 의 정확하고 순차적인 프레셰 하위미분 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 함수의 적분자가 비리프시츠일 경우, $ E_f $ 의 한계 하위미분은 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ3 고전적 볼록 적분 함수열에 대한 미분법칙이 비볼록 설정으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?
• RQ4 강력한 최소값은 비볼록 적분 함수열에 대한 변분 원리를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 한계 하위미분이 $ f $ 의 기울기의 적분의 순차적 극한과 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 프레셰 하위미분이 $ \|x - x_n(\cdot)\|_\infty \to 0 $, $ \int_T f(t, x_n(t))\,d\mu \to \int_T f(t,x)\,d\mu $, 그리고 $ \rho(\lambda_n \int_T x_n^*(t)\,d\mu - y^*) \to 0 $ 를 만족할 경우, 가측 선택 $ x_n^*(t) \in \hat{\partial}f(t, x_n(t)) $ 의 적분 극한으로 표현된다.
• 한계 하위미분에 대해서는 일반화된 리프시츠 유사 조건을 통해 상한 추정이 제공되며, 이는 고전 결과를 비리프시츠 적분자로까지 확장한다.
• 한계 하위미분은 집합 $ \int_T \operatorname{Ls}^{w^*} \{ x_n^*(t) \} \,d\mu + C(x_n^*)^- + W^\perp $ 에 포함되며, 여기서 $ W $ 는 닫힌 부분공간이고 $ C(x_n^*)^- $ 는 음의 폴라 콘이다.
• 거의 모든 $ t $ 에 대해 $ \operatorname{Ls}^{w^*} \{ x_n^*(t) \} \subseteq \partial f(t,x) $ 임을 보였으며, 이는 하위미분 극한이 점별 하위미분과 일致함을 보장한다.
• 특성화 결과로, $ e $ 를 중심으로 하는 $ L^\infty(T,X) $ 의 반지름 $ \delta $ 의 구는 $ \{ x(\cdot) \in L^\infty(T,X) : x(t) \in C(t) \text{ a.e.} \} $ 에 포함된다. 이는 $ \delta^{-1} \langle c^*(t), -e \rangle \geq \|c^*(t)\| $ 를 만족하는 모든 가측 선택 $ c^* $ 에 대해 성립한다.
• 결과는 분리 가능한 아스플룬드 공간과 그 분리 가능한 쌍대공간에 대해 유효하며, 이 틀은 리프시츠 및 비리프시츠 적분자 모두에 적용 가능하여, Ioffe [28] 및 Lopez-Thibault [34] 의 이전 작업을 일반화한다.