[논문 리뷰] Settling SETH vs. Approximate Sparse Directed Unweighted Diameter (up to (NU)NSETH)

Ray Li|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 12.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 47인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 강한 지수적 시간 가설(SETH) 및 그 변종을 기반으로, 희박한 방향성 있는 무게 없는 그래프의 지름을 근사화하는 데 대해 날카운 조건 하한을 확립한다. SETH 하에서, near-linear 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하며, 표준 2-근사가 최적임을 보인다. 본 연구는 NSETH 및 NUNSETH까지의 결정론적 및 확률적 SETH 기반 감소의 한계를 규명하여, 지름 근사의 미세 복잡도에 관한 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We prove several tight results on the fine-grained complexity of approximating the diameter of a graph. First, we prove that, for any $\varepsilon>0$, assuming the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), there are no near-linear time $2-\varepsilon$-approximation algorithms for the Diameter of a sparse directed graph, even in unweighted graphs. This result shows that a simple near-linear time 2-approximation algorithm for Diameter is optimal under SETH, answering a question from a survey of Rubinstein and Vassilevska-Williams (SIGACT '19) for the case of directed graphs. In the same survey, Rubinstein and Vassilevska-Williams also asked if it is possible to show that there are no $2-\varepsilon$ approximation algorithms for Diameter in a directed graph in $O(n^{1.499})$ time. We show that, assuming a hypothesis called NSETH, one cannot use a deterministic SETH-based reduction to rule out the existence of such algorithms. Extending the techniques in these two results, we characterize whether a $2-\varepsilon$ approximation algorithm running in time $O(n^{1+δ})$ for the Diameter of a sparse directed unweighted graph can be ruled out by a deterministic SETH-based reduction for every $δ\in(0,1)$ and essentially every $\varepsilon\in(0,1)$, assuming NSETH. This settles the SETH-hardness of approximating the diameter of sparse directed unweighted graphs for deterministic reductions, up to NSETH. We make the same characterization for randomized SETH-based reductions, assuming another hypothesis called NUNSETH. We prove additional hardness and non-reducibility results for undirected graphs.

연구 동기 및 목표

• 강한 지수적 시간 가설(SETH) 하에서, 희박한 방향성 없는 그래프의 지름을 near-linear 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사화하는 알고리즘이 존재하는지 여부를 규명하는 것.
• Rubinstein와 Vassilevska-Williams(2019)가 제기한 열린 문제, 즉 2-근사의 최적성과 $O(n^{1.499})$ 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사 알고리즘이 존재하는지 여부를 다루는 것.
• NSETH 및 NUNSETH 하에서, 어떤 $\delta \in (0,1)$ 및 $\varepsilon \in (0,1)$ 에 대해 $2 - \varepsilon$-근사가 $O(n^{1+\delta})$ 시간 내에 결정론적 또는 확률적 SETH 기반 감소로 제거될 수 있는지를 규명하는 것.
• 분석을 무방향 그래프로 확장하여, 추가적인 난이도 및 감소 불가능성 결과를 증명하는 것.

제안 방법

• 3-직교 벡터(3-OV) 문제에서 감소하여, 3-OV에 해가 없을 경우 지름이 3인 희박한 방향성 없는 그래프를 구성하고, 해가 있을 경우 지름이 최소 5인 그래프를 구성한다.
• 집합 $S$, $X$, $Y$로 구성된 삼분할 그래프를 구성하며, $S$의 정점은 벡터 쌍을 나타내고, $X$와 $Y$의 정점은 특정 연결 규칙에 따라 벡터 요소에 기반한 인덱스 트리플을 나타낸다.
• 삼각 부등식과 경로 길이 분석을 사용하여, 해가 없을 경우 지름이 3 이하로 제한되고, 해가 있을 경우 지름이 4를 초과함을 보이며, 직교 제약 조건을 통해 짧은 경로를 차단함을 이용한다.
• SETH 기반 감소를 활용하여 near-linear 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사가 불가능함을 증명하고, NSETH 및 NUNSETH로 확장하여 더 넓은 감소 불가능성 결과를 도출한다.
• 구성된 그래프의 경로 구조를 분석하여, 특정 소스 및 타겟 정점 간에 길이 ≤4인 경로가 존재할 경우 3-OV 해가 존재하게 되며, 이는 해가 없다는 가정과 모순됨을 증명한다.
• 결정론적 및 확률적 감소에 모두 프레임워크를 적용하여, NSETH 및 NUNSETH를 사용해, 빠른 $2 - \varepsilon$-근사 알고리즘의 존재를 암시할 수 있는 감소를 제거한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SETH 하에서, 희박한 방향성 없는 그래프의 지름에 대해 near-linear 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사 알고리즘이 최적인지 여부는 무엇인가?
• RQ2 SETH를 가정할 때, 희박한 방향성 없는 그래프의 지름에 대해 $O(n^{1.499})$ 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사 알고리즘이 작동할 수 있는가?
• RQ3 어떤 $\delta \in (0,1)$ 및 $\varepsilon \in (0,1)$ 에 대해, 결정론적 SETH 기반 감소로 $O(n^{1+\delta})$ 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사가 제거될 수 있는가?
• RQ4 NUNSETH 가설 하에서, 확률적 감소를 고려할 경우 SETH 기반 감소의 한계는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 무방향 그래프에서 지름을 근사화하는 데 대한 미세 복잡도 상한은 무엇이며, 기존 근사 알고리즘과의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• SETH를 가정할 경우, 어떤 $\varepsilon > 0$ 에 대해서도 희박한 방향성 없는 그래프의 지름에 대해 near-linear 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사 알고리즘이 존재하지 않으며, 이는 2-근사가 최적임을 증명한다.
• 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해, $\delta > 0$ 가 존재하여 SETH 하에서 $O(n^{1+\delta})$ 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사가 제거됨을 보이며, 이는 한계의 날카움을 보여준다.
• NSETH 하에서, 결정론적 SETH 기반 감소는 $O(n^{1.499})$ 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사 알고리즘의 존재를 제거할 수 없으며, 이는 현재 감소 기법의 한계를 보여준다.
• NSETH를 가정할 경우, 결정론적 SETH 기반 감소로 $O(n^{1+\delta})$ 시간 내에 $2 - \varepsilon$-근사가 제거될 수 있는 $\delta \in (0,1)$ 및 $\varepsilon \in (0,1)$ 의 전체 범위를 규명한다.
• 확률적 감소의 경우, 동일한 규명은 NUNSETH 가설 하에서 성립하며, 감소 불가능성 결과를 확률적 환경으로 확장한다.
• 구성된 그래프는 3-OV에 해가 없을 경우 지름이 3이고, 해가 있을 경우 지름이 최소 5임을 증명하여 감소에 대한 날카운 갭을 확립한다.