[논문 리뷰] Several Classes of Permutation Trinomials over $\mathbb F_{5^n}$ From Niho Exponents

Gaofei Wu, Nian Li|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 21.

Coding theory and cryptography참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$에서 Niho 지수를 사용하여, $q = 5^k$일 때 $\ufb01{F}_{q^2}$의 $(q+1)$-번째 단위근을 순열하는 분수다항식을 식별함으로써, 여러 개의 새로운 순열 삼항다항식 클래스를 구성한다. 주요 기여는 $\rho_1, \rho_2 \in \sum 1$ 조건 하에 $f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$ 형태의 순열 삼항다항식을 두 개의 순열에 대한 추측에 기반하여 구성하는 것이다.

ABSTRACT

The construction of permutation trinomials over finite fields attracts people's interest recently due to their simple form and some additional properties. Motivated by some results on the construction of permutation trinomials with Niho exponents, by constructing some new fractional polynomials that permute the set of the $(q+1)$-th roots of unity in $\mathbb F_{q^2}$, we present several classes of permutation trinomials with Niho exponents over $\mathbb F_{q^2}$, where $q=5^k$.

연구 동기 및 목표

• 유한체 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$에서 간단한 대수적 형태를 가진 새로운 순열 삼항다항식 클래스를 구성하는 것.
• 기존의 순열다항식 클래스를 Niho 지수를 이용해 확장하는 것. Niho 지수는 희박하고 구조적인 순열다항식을 생성하는 것으로 알려져 있다.
• Lemma 2를 통해 $(q+1)$-번째 단위근의 순열과 순열 삼항다항식 구성 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 두 개의 추측을 제안하고 분석하여, 만약 참이라면 새로운 순열 삼항다항식의 가족을 도출할 수 있도록 하는 것.
• 특정 삼항다항식 형태가 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$에서 순열이 되는 조건에 관해 열려 있는 문제를 규명하는 것.

제안 방법

• Lemma 2를 활용하여, $f(x) = x^l g(x^{(q^2-1)/s})$ 형태의 순열다항식에 대한 기준을 제공한다. 이는 $\gcd(l, (q^2-1)/s) = 1$ 이고, $x^l g(x)^{(q^2-1)/s}$ 가 $s$-번째 단위근을 순열해야 한다는 조건을 수반한다.
• 체 $q = 5^k$일 때, $\ufb01{F}_{q^2}$의 $(q+1)$-번째 단위근인 $\mu_{q+1}$ 를 순열하는 분수다항식 $g_1(x), g_2(x), \dots, g_{10}(x)$ 를 구성한다.
• 특히 ${{\rm Tr}}(x^d)$ 와 ${{\rm N}}(x)$ 의 행동을 분석하기 위해 $\ufb01{F}_{q^2}$ 에서 $\ufb01{F}_q$ 로의 추적 및 노름 함수를 사용한다.
• Lemma 1에서 직접 계산을 통해 유도된 $d = 2,3,4,8,9$ 에 대해 ${{\rm Tr}}(x^d)$ 와 ${{\rm N}}(x)$ 의 대수적 항등식을 적용한다.
• 순열 문제를 $\mu_{q+1}$ 에서의 유리함수 분석으로 환원한다. 예를 들어 $-x(\frac{x^2+2}{x^2-2})^2$ 와 $-x(\frac{x^2-2}{x^2+2})^2$ 와 같은 함수를 분석하여 추측을 도출한다.
• 삼항다항식 $f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$ 를 Lemma 2 적용에 적합한 형태로 변환하기 위해, $\mu_{q+1}$ 에서의 관련 $g(x)$ 를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $s + t = 0$ 또는 $s + t = \frac{5^k+1}{2}$ 라면, 삼항다항식 $f(x) = x + x^{s(5^k-1)+1} - x^{t(5^k-1)+1}$ 는 언제 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 에서 순열이 되는가?
• RQ2 조건 $s + t = \frac{5^k+1}{2}$ 를 만족할 때, $f(x) = x + x^{s(5^k-1)+1} + x^{t(5^k-1)+1}$ 는 언제 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 에서 순열 삼항다항식이 되는가?
• RQ3 $q = 5^k$ 일 때, 유리함수 $-x(\frac{x^2-2}{x^2+2})^2$ 는 짝수 $k$ 에 대해 $\ufb01{F}_{q^2}$ 의 $(q+1)$-번째 단위근 집합을 순열하는가?
• RQ4 유리함수 $-x(\frac{x^2+2}{x^2-2})^2$ 는 홀수 $k$ 에 대해 $\mu_{q+1}$ 를 순열하는 것으로 증명될 수 있는가?
• RQ5 $f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$ 가 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 에서 순열다항식이 되기 위한 지수 $c_1, c_2$ 와 계수 $\rho_1, \rho_2 \in \{1, -1\}$ 에 대한 必要한 및 충분한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $q = 5^k$ 일 때, $\ufb01{F}_{q^2}$ 의 $(q+1)$-번째 단위근을 순열하는 분수다항식을 식별함으로써, $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 에서 여러 개의 새로운 순열 삼항다항식 클래스를 구성한다.
• 체 $q = 5^k$ 에 대해, $s = \frac{q+3}{4}$ 일 때 $g_1(x) = -x^{\frac{q+1}{2}} \left( \frac{x^s - 2}{x^s + 2} \right)^2$ 는 $\mu_{q+1}$ 를 순열함을 증명하였으며, 이는 새로운 순열 삼항다항식 클래스를 이끌어낸다.
• 또한 $s = \frac{q+1}{4}$ 일 때 $g_2(x) = -x^{\frac{q+1}{2}} \left( \frac{x^s + 2}{x^s - 2} \right)^2$ 는 $\mu_{q+1}$ 를 순열함을 보여주며, 다른 순열 삼항다항식 클래스를 생성한다.
• 추측 1은 유리함수 $-r(\frac{r^2 - r + 2}{r^2 + r + 2})^2$ 가 단사적임을 주장한다. 여기서 $r = \frac{{\rm Tr}(x)^2}{{\rm N}(x)}$ 이며, 만약 참이라면 $f(x)$ 에서 ${{\rm Tr}}(x)$ 와 ${{\rm N}}(x)$ 가 유일하게 결정됨을 보장하며, 이는 순열을 의미한다.
• 추측 2는 $-x(\frac{x^2 - 2}{x^2 + 2})^2$ 가 짝수 $k$ 에 대해 $\mu_{q+1}$ 를 순열한다는 것을 제안한다. 만약 참이라면, 지수 $s = \frac{q+2}{3} + 1$, $t = 2\cdot\frac{q+2}{3}$ 을 가진 새로운 순열 삼항다항식 클래스를 이끌어낸다.
• 논문은 추측 2가 참이라면, Lemma 2 와 $\mu_{q+1}$ 에서의 $g_{10}(x)$ 변환을 통해 $f(x) = x - x^{s(q-1)+1} - x^{t(q-1)+1}$ 가 짝수 $k$ 에 대해 $\ufb01{F}_{q^2}$ 를 순열함을 증명한다.