[논문 리뷰] Several explicit formulae of sums and hyper-sums of powers of integers

Fouad Bounebirat, Diffalah Laissaoui외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 19.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스틸링 수의 제2종과 일반화된 베르누이 다항식을 사용하여 등차수열에서 정수의 거듭제곱 합과 초합에 대한 명시적 공식을 제시한다. 생성함수와 폐쇄형 표현식을 유도하며, 초기항 a와 공차 d를 파라미터로 하는 일반적인 등차수열으로 고전 결과를 확장하여 수론과 조합론 분야에 새로운 계산 도구를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we present several explicit formulas of the sums and hyper-sums of the powers of the first (n+1)-terms of a general arithmetic sequence in terms of Stirling numbers and generalized Bernoulli polynomials.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 등차수열의 첫 (n+1)개 항의 거듭제곱 합에 대한 명시적 폐쇄형 표현식을 유도하는 것.
• 고전적 거듭제곱 합 결과를 이러한 수열의 초합(반복 합)으로 확장하는 것.
• 더 넓은 적용 가능성을 위해 이러한 합을 스틸링 수의 제2종과 일반화된 베르누이 다항식으로 표현하는 것.
• 거듭제곱 합과 초합에 대한 기존 결과를 통합하고 일반화하는 생성함수를 제공하는 것.
• 지수 생성함수를 통해 초합과 일반화된 베르누이 다항식 간의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 항등식 $ \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}(n) \frac{z^p}{p!} = \sum_{k=0}^n e^{(a+kd)z} $ 를 사용하여 $ S_{p,(a,d)}(n) $ 의 지수 생성함수를 유도한다.
• 가중 스틸링 수 $ \mathcal{S}_n^k(x) $ 의 생성함수를 활용하여 $ S_{p,(a,d)}(n) $ 를 $ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \mathcal{S}_p^k\left(\frac{a}{d}\right) $ 로 표현한다.
• $ r $-위트니 수의 제2종 $ W_{m,r}(n,i) $ 를 통해 합과의 연결을 설정하여 $ W_{a,d}(p,k) $ 를 포함하는 공식을 이끌어낸다.
• 초합 $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) $ 를 위한 이중 생성함수를 유도하며, $ \sum_{r \geq 0} \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) \frac{z^p}{p!} t^r = \frac{e^{az} - (1-t)^{n+1} e^{(a+(n+1)d)z}}{(1-t)^{n+1}(1 - (1-t)e^{dz})} $ 를 보여준다.
• 일반화된 베르누이 다항식 $ B_n^{(\alpha)}(x) $ 를 사용하여 초합을 표현하며, $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) = \frac{p! d^p}{(p+r+1)!} B_{p+r+1}^{(r+1)}\left(\frac{a}{d} + r + n + 1\right) - \sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k} \frac{p! d^p}{(p+r+1-k)!} B_{p+r+1-k}^{(r-k+1)}\left(\frac{a}{d} + r - k\right) $ 를 도출한다.
• 초합 공식이 $ r = 0 $ 일 때 고전적 베르누이 다항식 항등식으로 축소됨을 보여 결과의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 등차수열의 첫 $ n+1 $개 항의 $ p $ 제곱 합은 어떻게 폐쇄형으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 가중 스틸링 수의 제2종은 등차수열의 거듭제곱 합을 매개변수화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $ r $-위트니 수의 제2종은 거듭제곱의 초합의 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 등차수열 내 거듭제곱의 초합을 위한 이중 생성함수를 도출할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 베르누이 다항식을 사용하여 초합의 명시적 표현식은 무엇인가?

주요 결과

• 합 $ S_{p,(a,d)}(n) $ 는 $ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \mathcal{S}_p^k\left(\frac{a}{d}\right) $ 로 명시적으로 주어지며, 여기서 $ \mathcal{S}_p^k(x) $ 는 가중 스틸링 수의 제2종이다.
• 만약 $ d \mid a $ 이면 합은 $ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{p + \frac{a}{d}}{k + \frac{a}{d}}_{\frac{a}{d}} $ 로 단순화되며, 이는 $ r $-스틸링 수와 연결된다.
• 서로소인 $ a $ 와 $ d $ 에 대해 합은 $ r $-위트니 수를 통해 표현된다: $ S_{p,(a,d)}(n) = \sum_{k=0}^p k! d^k \binom{n+1}{k+1} W_{a,d}(p,k) $.
• 초합 $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) $ 는 이중 생성함수 $ \sum_{r \geq 0} \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) \frac{z^p}{p!} t^r = \frac{e^{az} - (1-t)^{n+1} e^{(a+(n+1)d)z}}{(1-t)^{n+1}(1 - (1-t)e^{dz})} $ 를 가진다.
• 초합은 일반화된 베르누이 다항식을 사용하여 명시적으로 표현된다: $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) = \frac{p! d^p}{(p+r+1)!} B_{p+r+1}^{(r+1)}\left(\frac{a}{d} + r + n + 1\right) - \sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k} \frac{p! d^p}{(p+r+1-k)!} B_{p+r+1-k}^{(r-k+1)}\left(\frac{a}{d} + r - k\right) $.
• 만약 $ r = 0 $ 이면 초합 공식은 고전적 항등식 $ S_{p,(a,d)}(n) = \frac{d^p}{p+1} \left( B_{p+1}\left(\frac{a}{d} + n + 1\right) - B_{p+1}\left(\frac{a}{d}\right) \right) $ 로 축소되며, 기존 결과와의 일致성을 확인한다.